Квазиизометрии, теория предконцов и геометрия пространственных областей

• Автор: Кармазин, Александр Петрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Сургут
• Количество страниц: 409 с.

■ ВВЕДЕНИЕ

* ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Приведём сначала общую постановку задачи, решаемой в данной работе. Пусть А есть некоторый класс отображений, заданных, например, на некотором семействе {П} областей из евклидова пространства И“, п>2, образы
которых О = f (П) есть также области из II11. В наиболее общем случае отображения f е А задаются на областях из некоторого метрического пространства (Х,г), а их образы при отображениях из А есть области метрического пространства (УД). Тогда каждое £еА удовлетворяет некоторым условиям, которые являются инвариантными или квазиинвариантными для

отображений из этого класса. Следовательно, в общем случае изучение поведения отображений из А сводится к изучению строения областей Б, в = =Т(Б), I е А с помощью инвариантов данного класса отображений А. При этом чем большее число различных инвариантов класса А мы обнаружим, и опишем всевозможные взаимосвязи между ними, тем более детально мы изучим геометрию областей задания отображений из А и их образы, а значит, и поведение отображений из А, рассматриваемых на заданном семействе {Б} областей из

% IIп (или (Х,г)).

Следующие две проблемы являются одними из основных в теории функций.

I. Граничное поведение отображений из А.

II. Теоремы существования для отображений из А.

Проблема I сводится к нахождению с помощью инвариантов класса А граничных элементов областей, инвариантных при отображениях из А. При этом, изучая строение этих элементов и взаимосвязи между ними, мы некото-рым образом описываем геометрию, то есть строение областей, на которых задаются отображения из А, а также их образы. Естественно, желательно получить как можно более полное описание строения областей из заданного семейства {О}, и этот класс {Б} должен быть достаточно широк. Например, за {Б} можно взять класс областей из Ш (или (Х,г)), гомеоморфных шару, либо, более обще, односвязных областей. Далее, желательно с помощью инвариантов класса А построить такое множество Г[Б] граничных элементов области Б, чтобы множество Б и Г[Б] было компактно (или чтобы область Б была секвенциально предкомпактна в Б и Г[Б], чего уже хватило бы для нужд теории функций) и, кроме того, хаусдорфово. При этом, если отображения из А являются гомеоморфными, естественно потребовать ещё, чтобы любое Г е А продолжалось до гомеоморфизма
Р:Би Г[Б] ->би ГЩ], Б * |Б = Б,
где Б = f (Б), Б е {Б}. Тогда вопросы граничного поведения отображений из А решались бы почти автоматически. Основные трудности здесь возникают при построении такого множества Г[Б] и при изучении строения элементов из Г [Б].
Проблема II заключается в нахождении условий на области Б,в из Ш (или Б с (X, г), О с (У, б) соответственно в более общем случае) с использованием инвариантов класса А, при которых Б можно или нельзя отобразить на О отображением f из А. Таким образом, мы снова приходим к основной проблеме: научиться описывать строение областей из заданного семейства {Б} с помощью инвариантов рассматриваемого класса А отображений этих областей.
Исходя из предыдущего, мы в данной работе будем придерживаться следующей общей концепции: используя всевозможные инварианты рассматриваемого класса отображений (предварительно описав их), как можно более детально изучить строение областей, на которых заданы отображения из этого класса, а также их образы. В частности, при этом мы изучим и поведение отображений рассматриваемого класса.
Перейдём к истории вопроса. В 1913 г. Каратеодори в работе [30] построил теорию простых концов плоских односвязных областей, и показал, что
любой конформный гомеоморфизм f : Б -» Б односвязных областей Б,О из Я продолжается до гомеоморфизма

f*: D и E[D] -* G и E[G], f *|D = f, где E[D],E[G] есть множества простых концов соответственно областей D,G. Причём пополнение D u E[D] любой плоской ограниченной односвязной области D по её простым концам является компактным и хаусдорфовым топологическим пространством. Таким образом, простые концы по Каратеодори оказались граничными элементами плоских областей, инвариантными при конформных отображениях, и с их помощью удаётся достаточно детально описать геометрию плоских областей. Эта изначальная работа Каратеодори оказалась эталонной и послужила моделью для многочисленных дальнейших рассмотрений при изучении граничных вопросов различных классов отображений, как плоских, так и пространственных.
Позднее было показано, что элементы из E[D] инвариантны и для более общих классов квазиконформных и с ограниченным интегралом Дирихле плоских гомеоморфизмов (см. по этому поводу, например, монографии Г.Д.Суворова [25], [26]). Таким образом, в плоском случае Каратеодори был полностью решён вопрос о граничном соответствии, а Риманом доказана теорема существования для конформных отображений.
Пространственный случай оказался намного сложнее. Теория простых концов пространственных областей началась разрабатываться в работах Кауфмана (1930 г.), см. [36], Мазуркевича (1936 г.), см. [38] и Фрейденталя (1952 г.),

см. [31], а также в работах А.Д.Мышкиса, см. его основополагающую работу [22], 1949 г. Их построения основывались на схеме Каратеодори, не использовали существенно инварианты никаких классов отображений, то есть имели общий характер, были достаточно сложными и не нашли применения в теории функций.
В 60-х г. в работах [8] - [10] В.А.Зорич построил теорию простых концов областей из евклидова пространства R", п > 3, и установил теорему о соответ-7 ствии по простым концам для квазиконформных отображений шара. В работах
И.С.Овчинникова и Г.Д.Суворова, см. [23], [24], [27], выделены классы про8) R-гладка, если pD(E,F) = 0, V связные множества E,Fc D
такие, что beEnF;
9) Ъ-гладка, если ön (E,F) = О, V связные множества E,F с D такие, что beEnF ;
10) R-связна, если существуют произвольно малые окрестности U точки b и число ),е [1 ,оо) такие, что UnD связно и для любых точек x,yeUnD
pD(x,y) 11) Ь-связна, если существуют произвольно малые окрестности U точки b и число Xe [1,оо) такие, что UnD связно и для любых точек x,yeUnD
5D(x,y) < X, | х - у | ;
12) D обладает одним из перечисленных выше свойств на границе, если это свойство выполнено для каждой точки границы.
Свойства 1) и 2) рассмотрены в книгах Ю.Вяйсяля [44, § 17], A.B.Сычёва [28] и работах Р.Някки [41], [42]. Там же приведены эквивалентные характеристики этих понятий и указаны связи между ними. Свойство 5) приведено в [42], см. также [46]. Очевидно, что если D локально связна в точке beSD, то она конечно связна в этой точке, обратное неверно ( [44, § 17] ). Если D конечно связна в точке beöD, то она сильно достижима в этой точке ( [46], 3.10). Известно, что свойства 1), 2), 3), 5) являются топологическими инвариантами (см. [44], 17.8 ). Нетрудно видеть, что свойства 4), 6), 7), 8) инвариантны при р-квазйизометриях ( а в частности, и 6-квазиизометриях ), 5) и 9) -при б-квазиизометриях замкнутых областей. То есть, например, если f: D -> G есть гомеоморфизм, сужение f | D — р-квазиизометрия и D обладает в точке beSD одним из условий 4), 6)-8), то область G удовлетворяет этому же условию в точке f(b).
В работе [12] подробно рассмотрены свойства 6), 7), 8), 10) и изучены взаимосвязи между этими свойствами и более общими свойствами 1), 2), 3), 4), 5). Напомним здесь без доказательств эти результаты, которыми мы в