О необходимых условиях экстремальности в задачах с односторонними ограничениями

• Автор: Джгаркава, Дмитрий Тарасович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 127 c. : ил

ГЛАВА I

§ I. Постановка задачи

§ 2. Обобщение понятия дифференцируемости.

Необходимое условие критичности

. Глава II

§ 3. Пространство прерывистых функций

§ 4. Пространство функций ограниченной со -вариации.

Векторнозначные аддитивные функции множества

§ 5. Интегрирование в пространстве прерывистых

функций
§ б. Представление линейных ограниченных операторов, определенных на пространстве прерывистых функций. Сопряженное пространство
§ 7. Положительные функционалы на пространстве
прерывистых функций
§ 8. Проекторнозначные прерывистые функции.
Теоремы о расщеплении функционала
Глава III
§ 9. Задача оптимального управления со смешанными
односторонними ограничениями
§ 10. Линейная задача оптимального управления со
смешанными односторонними ограничениями
ЛИТЕРАТУРА

Математическая теория оптимальных процессов, основополагающая роль в создании которой принадлежит советским ученым, возникла в середине 50-х годов в связи с запросами науки и техники. В последующие года интенсивное исследование задач оптимального управления продолжалось как в нашей стране, так и за рубежом. В современной технике встречается целый ряд задач оптимального управления, характерной особенностью которых является необходимость учета,ограниченный на управление и траектории изучаемых систем. Они представляют собой большой интерес как для решения внутренних проблем математики, так и для ее разносторонних приложений. Такие задачи рассматривались в работах [1-2], [5-8], [12-13] и других* Тем не менее, даже для линейных систем еще не получены достаточно простые и удобные для приложений условия оптимальности при естественных предположениях на управляемую систему. Причина этого,на наш взгляд, в неудачном выборе пространства управлений. Обычно управления берут либо из класса кусочно непрерывных на некотором интервале функций (см. [2], [8], [12] ), либо из банахова пространства существенно ограниченных измеримых по Лебегу функций (см. [5-7], [13]); первое не является банаховым пространством, а второе имеет неудобное сопряженное. В работе [I] было предложено рассматривать управления из банахова пространства, получаемого пополнением по равномерной норме множества кусочно непрерывных функций. Однако отсутствие изометрического представления для сопряженного пространства значительно усложнило окончательные результаты. Учитывая, что это пространство все чаще появляется

в приложениях, полезно иметь для него более короткое название,
В настоящей работе мы предлагаем использовать с этой целью название "пространство прерывистых функций". Характеризующим свойством функций из этогб пространства является наличие конечных пределов справа и слева в каждой точке области определения. Оно представляет самостоятельный интерес как минимальное расширение пространства непрерывных функций, сохраняющее большую часть его основных свойств. Помимо теории оптимального управления, оно естественным образом возникает в теории случайных процессов, С этой точки зрения геометрия этого пространства рассмотрена в работах [14], [15]. Оно естественным образом возникает также в теории дифференциальных уравнений,[16] и других областях математики.
Целью работы является исследование пространства прерывистых функций, изучение на этой основе задач оптимального управления со смешанными односторонними ограничениями, получение для этих задач более удобных условий оптимальности, пригодных также и для случая бесконечномерного фазового пространства.
Работа состоит из трех глав, В первой главе в целях единства изложения приводится с некоторыми модификациями способ исследования экстремальных задач, получивший в литературе название "метода совместного накрывания" [17]. Исторически он восходит к работам Грейвса [18] в полном и законченном виде, допускающем рассмотрение задач оптимального управления, метод развит в работах К.Ш.Цискаридзе [I]. Изложение метода следует, в основном, работе [I], Вторая Глава IIосвящена изучению пространств прерывистых функций и содержит результаты общего характера. В третьей главе изучается задача оптимального управления

Ттс. - , *хеСА/(4,ЭЕ) , (б.2)

где оI е ^(4■>• Формул81 (6*2) определяет изометрический изоморфизм между пространствами В(сА/(3,7£))
Доказательство. Цусть Т еВ(С/ч4)Эе)^) - произвольный оператор. Для каждого $>е.^ , через ^($) обозначим элемент пространства В (Э£,^ , определенный условием:
‘ФУ! ~ ~ Т 7^*31 э ДЛЯ всех 9,6 (о,!4) ,
-< <0^ “ - Т е 36 ?
Ы (А] = О
Покажем, что • Действительно, возьмем
произвольное разбиение отрезка 4 : о ="Ьо ^ ^ <^к=4. % и
пусть ^ 5у, некоторые векторы из единичной сферы пространства 30 • Тогда имеем
1 I/ -1. *
= + тЧ^,ъаМ
- 1тв'- т|в.
Ввиду произвольности разбиения отрезка 3 и выбора векторов 5 --- ■> из еданичной сферы пространства 3£ , получаем,

1°М^ ~ 1Т1В (6.3)