Оценки минимального собственного значения одной задачи Штурма-Лиувилля

• Автор: Мурышкина, Ольга Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 115 с. : ил

Введение
Задача об оценке собственных значений задачи Штурма-Лиувиллп за счет выбора потенциала из некоторого фиксированного класса функций часто возникает в приложениях. Например, в теории упругости в процессе поиска наиболее прочных конструкций из данного материала. Примером такой задачи служит задача

{р{х)у"(х))" + А у"{х) = О,

2/(0) = у'(0) = у(1) = у'(1) = 0,

известная как задача Лагранжа о нахождении наиболее прочной колонны заданного объема, которая является телом вращения плоской кривой вокруг некоторой прямой, расположенной в ее плоскости. Для колонны единичной длины и единичного объема прочность означает сопротивление относительно сжатия вдоль оси вращения. Пусть А — величина нагрузки вдоль оси и и — смещение колонны в ортогональном к оси направлении. Потенциальная энергия колонны равна

1 1 Т = j EI(x)u"(x)7dx — A J u'{x)2dx, (0. 1)

где 1(х) — второй момент площади сечении колонны и Е — модуль Юнга. Критической нагрузкой Aj называется максимальное значение А, при котором irifT = 0. Таким образом,

f EI{x)u"{x)2dx F[u] = , (0. 2)

f |u'(a:)|2d.T

где IIq — пространство функций, имеющих обобщенные производные до второго порядка включительно, обращающихся в нуль на концах интервала вместе со своими первыми производными, с нормой
Цу(ж)11я02(0,1) = (y2(x) + y'2(x)+y"2(x))dz
Ai = inf F[u], Ч*)ея02(о,п

Уравнение Эйлера — Лагранжа для функционала ^ имеет вид
[Я{х)у")" + А у" = 0, (0. 3)
где функция у(х) удовлетворяет следующим условиям
2/(0) = 0, 2/(0) = 0, 2/(1) = 0, 2/'(1)=0. (0.4)
Если в(х) — площадь сечения колонны при 0 < х < 1, то С^(х) — Е32(х) = 32(х) (считаем модуль Юнга Е постоянным и равным 1). При этом объем колонны фиксирован, т.е.

J 3{х)(1х = J [о(х)(1х — 1, Я(х) > 0. о о
В действительности можно рассматривать колонну с сечением произвольной формы, если все сечения подобны одному из них. Если колонна неоднородна, то есть составлена из слоев с различными упругими свойствами, и сечения не являются подобными, то условие на функцию (2(х) можно заменить условием

I С}а{х)<1х - 1, ) > 0 (0. 5)

при некотором а Є [0,1] (см., например, [11]).
В работе будет изучаться задача более общего вида, где параметр а -любое действительное число, не равное 0.
Исследование экстремалей функционала Е, определенного формулой (0. 2), тесно связано с изучением функционалов
I Р (х)у'{х)2 <1х $у'{х)2(1х
С[р, у} = ^-г-------------, Н[я, у] = ^----------------------, (0. 6)
}у(х)Чх I С3(х)у(х)2(1х

и функционала
/ Р(х)у'{х)2<1х
1[Р, <2, у] = . (0. 7)
} <2(х)у(х)Чх о

Эти функционалы представляют большой интерес как для приложений, так и для спектральной теории. Им посвящено множество работ (см., например, [1-6]). Отметим, что подробное описание физической постановки задачи Лагранжа и истории вопроса можно найти в книге Ю.В.Егорова, В.А. Кондратьева [6] и обзоре А.П.Сейранлна [11].
Связанная с этой постановкой задача
где р(х) — неотрицательная, суммируемая на (0,1) функция, такая что
рассматривалась Ю.В.Егоровым и В.А.Кондратьевым [5,6]. Ими были получены оценки минимального собственного значения А1 этой задачи в зависимости от а.
Из вариационного принципа следует, что первое собственное значение Ах может быть найдено по формуле
где 11а при а > 0 — множество неотрицательных вещественнозначных суммируемых на (0,1) функций, удовлетворяющих условию

при а < 0 Иа — множество положительных вещественнозначных суммируемых на (0,1) функций, удовлетворяющих условию (0. 8).
Одним из результатов их работы является следующее утверждение
у"(х) + Ар(х)у(х) = 0, 2/(0) = 3/(1) = 0,

]у'{х)Чх

[ р{х)у(х)'Чх

Оценивались значения

Ма = вир Ах
р{х)еяа

(0. 8)

где и(х) удовлетворяет уравнению (1. 30) и условиям (1. 37) (1. 38).
С другой стороны
Ма = sup Ai = sup inf — — < т.
рШАс р(*)бЛ„ »(*)6П, fp(x)y-2(r)dx.

Так как положительная функция и(х) € Я1 (0,1) и и^> (х) £ Л„, то подставив эти значении вместо у{х) и p(aj) в функционал
LM =т %

получим
fp(x)y2(x)dx
т г -3- 1 «'■»Г
і [и <>-*, и] = ^ — = У --- = --------------2 = С[ъ] = т.
/л (І^)'
Таким образом, указана пара функций />(.?;) и ?/(.г) на которых функционал Ь[р,у] принимает значение т. Следовательно, Ма = т.
Составим систему уравнений, из которой следует существование и единственность т как неявной функции от параметров к и ц (д — ~т[). Умно?кал уравнение (1. 36) на 2и'{.т) и интегрируя его на [0,1], имеем
и'2(х) + —в"(ж) = С. (1. 40)

При х = 0 соотношение (1. 40), с учетом (1. 37) принимает вид ^«2(0)+ук’(0) = С,
а при х =
кли2(1) + ^и'1(1) = С.
Следовательно,