Приближение функций многочленами на треугольной сетке

• Автор: Матвеева, Юлия Васильевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 107 с.

Содержание
Введение
Глава 1 Сплайны на системе треугольников с общей вершиной
1.1 Основные понятия и вспомогательные утверждения
1.2 Оценки отклонения производных по направлениям в т-мерном симплексе
1.3 Сплайн-интерполяция на треугольной сетке
Глава 2 Кубическая интерполяция на т-мерных симплексах
2.1 Сплайн-интерполяция на двумерном симплексе
2.2 Сплайн-интерполяция на трехмерном симплексе
2.3 Сплайн-интерполяция в Жто
Список литературы

Введение
Теория интерполирования кусочно-полиномиальными функциями не была систематизирована до конца 60-х годов 20-ого века. Вопросы сходимости локальных интерполяционных и кратных интерполяционных процессов, связанных с аппроксимацией функций на многогранных областях кусочно-полиномиальными функциями, связаны с разбиением области на симплексы. Данные вопросы тесно связаны с методом конечных элементов (МКЭ).
Метод конечных элементов основан на локальной аппроксимации решения кусочно-полиномиальными функциями. Исходная область разбивается на подобласти стандартного вида, в качестве которых выступают треугольники или четырехугольники. Делая подобласть достаточно малой, либо выбирая достаточно высокую степень полиномов, можно добиться того, чтобы аппроксимирующая функция достаточно точно передавала локальное поведение решения. Этот метод может применяться для областей произвольной формы и граничных условий общего вида, причем возможно нерегулярное разбиение области. Таким образом, на расположение элементов при разбиении области не накладываются ограничения, что позволяет применять метод конечных элементов для широкого круга областей без использования глобальной фиксированной системы координат.

Оценки погрешности аппроксимации интерполируемой функции и ее производных характеризуются двумя параметрами - диаметром разбиения (триангуляции) и некоторой характеристикой симплекса. В двумерных случаях, например, в большинстве работ в качестве этой второй характеристики служит синус наименьшего угла разбиения.
Первая оценка аппроксимации производных кусочно-линейными функциями на треугольнике была представлена Шварцем [1]. Здесь роль второй характеристики играет синус наибольшего угла триангуляции. Для полиномов первой степени Зламал [2] в двумерном случае указал оценки сверху и снизу, которые зависят от диаметра разбиения и синуса наибольшего угла триангуляции. Эти оценки являются равномерными по указанным параметрам. Однако еще в 1957 году Синжем )3], а затем в 1976 году Бабушкой и Азизом [4] в двухмерном пространстве на примерах многочленов малых степеней (первой и второй), не всегда с указанием точной зависимости, было отмечено, что "условие наименьшего угла" в некоторых случаях может быть заменено на более слабое ограничение - на наибольший угол. Результаты и методы Зламала [5] были обобщены Жеиишеком [6] для кусочно-полиномиальных функций девятой и тринадцатой степеней. Для кусочно-полиномиальных функций произвольной степени 4к + 1 для некоторых интерполяционных процессов оценки погрешности получили Брэмбл и Зламал [7]. Общую же оценку сверху для произвольной триангуляции, произвольных интерполяционных процессов в Кп получили Сьярле и Равьяр [8].
В некоторых случаях наименьший угол, фигурирующий в оценках, можно заменить на средний (или наибольший, что с точностью до констант равносильно). Отметим, что до работы Сьярле и Равьяра (1972

= 6(Д - Д) + 2АілЖ- 4| АЛ/—
Производя аналогичные преобразования, получим
де3іі
AAtf
В і І

< С2М3±
Такой же результат имеем, если 1—3- Объединяя найденные оценки, получим нужную нам оценку.
Найдем оценку отклонения производной первого порядка по направлению ребра А(Ау симплекса Т = {А, А2
д2Ю-Л
тегрируем смешанную производную де' по одному из данных направлений, например по направлению ребра ДАл

де; іде.

деік
где В - проекция точки х в направлении вектора еу на ребро симплекса, содержащее вершину Д или А у Тогда

12 AiAjlAiAk
|ДД| + <Л М% < Сс12М$.
Предположим, что для (т — 1)-мерного симплекса справедлива оценка

Д Ст-ід?Мз,
2т — 1.
№-!) де;
Докажем оценку для д2(0-л
де де-к ПО иапРавлению еі,к:
в т-мерном симплексе. Интегрируем