Весовые интегральные неравенства на конусах монотонных и квазивогнутых функций

• Автор: Попова, Ольга Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 129 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ВЕСОВЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА НА КОНУСАХ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ

§ 1.1. История изучения весовых интегральных

неравенств на монотонных функциях

§ 1.2. Некоторые двусторонние неравенства Харди

на конусах монотонных функций

§ 1.3. Некоторые модификации неравенств Харди

на конусах монотонных функций

§ 1.4. Неравенства для интегральных операторов с ядрами

Ойнарова на конусе невозрастающих функций

Глава 2. ВЕСОВЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА НА КОНУСАХ КВАЗИВОГНУТЫХ ФУНКЦИЙ § 2.1. Исследование интегральных неравенств на конусе
квазивогнутых функций. Основные результаты
§ 2.2. Ограниченность максимального оператора
в Г—пространствах Лоренца
§ 2.3. Ограниченность двойственного оператора
Харди в Г—пространствах Лоренца
Глава 3. ОГРАНИЧЕННОСТЬ В Г-ПРОСТРАНСТВАХ ЛОРЕНЦА НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ КЛАССИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 3.1. Критерии ограниченности преобразования Гильберта,
действующего между Г—пространствами Лоренца ... 105 § 3.2. Критерии ограниченности потенциалов Рисса,
действующих между Г—пространствами Лоренца
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Задачи характеризации неравенств Харди для различных классов функций составляют значительную часть области классического анализа, посвященной исследованию интегральных и дифференциальных неравенств.
Неравенство Харди впервые возникло в дискретной форме в ходе попыток Г.Х. Харди доказать неравенство Гильберта. Он начал работу над этой задачей в 1915 г., и только в 1925 г. получил неравенство в интегральной форме - в том виде, в котором мы привыкли его видеть. Он сформулировал свой результат следующим образом: Пусть fix) > 0, р > 1, / интегрируема на любом конечном интервале из промежутка (0,Х) и fv интегрируема на интервале (0, оо). Тогда выполняется неравенство
Нужно заметить, что Г.Х. Харди был не единственным математиком, который занимался изучением этого неравенства. М. Рисс, Э. Ландау, Д. Пойа также занимались исследованием данного вопроса.
Рассмотрим классическое пространство Лебега ЬР(а, 6, и), 0 < р < оо, состоящее из всех неотрицательных измеримых функций, таких что
11/1!р,« := (1 /{х)ри{х)дх < оо
при 0 < р < оо и
||Л1оо,и := евв8ир|/(аг)| < оо.
а<х<Ь
Здесь и{х) > 0— весовая функция. Весовое интегральное неравенство типа Харди в пространстве Лебега имеет вид
г. а: /(ДеЙ и(х)дх < С /р{х)у{х)дх , (0.0.1)

где —оо < а < b < оо, 0 < q < оо, 1 < р < оо, u,v— измеримые функции, положительные почти всюду на (а,Ь). Задача характеризации данного неравенства состоит в нахождении необходимых и достаточных условий, накладываемых на весовые функции для выполнения неравенства. Такие критерии для различных значений параметров р и q были получены в работах [1], [9], |27], [37], [42], [48], [49], [52], [59], [62], [63], [64], [68], [74], [75].
В случае произвольных <т~конечных мер неравенство имееет вид
( f ( [ fud\ v(x)dfj,(x) <с([ fpwdu (0.0.2)
Наиболее полный результат для случаев двух (когда Л = и) и трех различных мер был получен Д.В. Прохоровым в статье [6]. Заметим, что критерий для случая трех различных мер содержит разложение Лебега меры и, в то время как в случае А = и критерий имеет более привычную и удобную в использовании интегральную форму.
Подобные неравенства можно рассматривать не только в весовых пространствах Лебега. Рассмотрим, к примеру, пространства А, представленные Г.Г. Лоренцом в его работе [45]. Для измеримой функции / определим невозрастающую перестановку
/*(/.) := inf {у > 0 : А/(у) < t} ,
где А/— функция распределения
А/(у) = mes {х G X : |/(х)| > у}
Пространство Лоренца Ap(w), 0 < р < оо, состоит из всех измеримых функций,таких что
"Ли=(| (/*( L))pw(t)d?j <оо.

Ao(t) := Л(<)"- ( f (f ArdxYA(syp-ld(s))P J{0,t] J[Os] ) )

Ai(i) := ( f A?o!A Л(7)_ї f f Л(:г)_р_1сіа'']
A[o,t] / J[t, oo) )
Более того, по Лемме 1.1 supf>0 Ao(t) ~ 1. Заметим, что для а > О
f A(x)~“_1o?A(x-) = / ( f (а + 1) s~a~2ds dA(x)
J[t.оо) J[t,oo) (х) )
= / (а + 1) s~a~2ds f dX(x) < ———A(t)~a. (1.1.16)
A(i) J{x Из ЭТОГО И Леммы 1.1 следует, ЧТО sup4>0 Их (і) <С 1.
Теперь пусть 1 < р < оо. В соответствии с [39, Теорема 4.2] получим
С яз sup Лз(1) + supA4(t),
f>0 f>0

(*) := ( f ( I А"7йаУ dA ] ( [ А-р-ЧХ
W[o,i] ./[у,г] / / J[t,oo)

И4(г) :=А7 ( [ А~р_1(х) ( [ А~?<аЛ ЙА(х)У
[4,оо) -/[*,х] ) )
Из (1.1.16) и Леммы 1.1 следует, что
([ А~р~4х) < А)"1, / А“А » А1'?).
А[Гоо) ) ]{у.ь]
Следовательно, 8прг>0 А3(1) <С 1. Аналогично, зир4>0И4(/:) <С 1, и мы заключаем, что выполняется (1.1.15).

Используем следующий результат, который следует из [60, Лемма 1.2] (см. также [61, Предложение 1.5]).