Коэрцитивные оценки и разделимость дифференциальных операторов класса Трибеля

• Автор: Гаибов, Давронбег Сафарович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 113 с.

Оглавление
Введение

Глава I: Представление резольвенты оператора класса Трибеля

§1. Определения, обозначения и предварительные сведения

§2. Вспомогательные леммы и неравенства

§3. Основное тождество

§4. Рсгуляризатор

§5. Оценка резольвенты

Глава II. Теоремы разделимости и коэрцитивные оценки

§6. Разделимость дифференциальных операторов класса

Трибеля на конечном интервале

§7. Обыкновенные дифференциальные операторы класса
Трибеля на полуоси
§8. Интегральное представление функций из весовых
пространств С. Л. Соболева
§9. Оценки решений обыкновенных дифференциальных
уравнений на всей оси
§10. Оценки решений дифференциальных
уравнений на произвольном интервале
Литература

Введение.
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию Lp- разделимости дифференциальных операторов класса Трибеля при 1 Р +°о и получению соответствующих коэрцитивных неравенств. Ранее такие оценки были получены Трибелем для 1 < р < +оо. Таким образом, новизна работы заключается в том, что рассмотрены неисследованные ранее случаи р = 1 и р = +оо. При этом доказано, что постоянные числа, фигурирующие в оценках коэрцитивности, не зависят от р. Этого не было у Трибеля даже при 1 < р < +оо.
Методика, которая использована в диссертации отличается от методики Трибеля. Кроме теоремы разделимости этой методикой получены интегральные представления функций для некоторых весовых классов
C.Л.Соболева. Также этой методикой установлена плотность финитных функций в весовых пространствах функций.
Термин разделимость ввели английский математик В.Н. Эверит (W.N. Everitt) и шведский математик М. Гирц (М. Gierz). В своих работах [1-5] они изучали разделимость оператора Штурма Лиувилля
р[у] = -у"{х) + Я(х)у{х), (0.1)
и его степеней.
Результаты этих работ позже были усилены в работах [6-12, 16-19]. В частности в работе Бойматова К.Х. [6] разделимость дифференциального выражения (0.1) получена без требования какой- либо гладкости на потенциал q(x). Отелбоев М. [16] исследовал разделимость (0.1) в весовом пространстве 1/2,к(1), где I- открытый отрезок вещественной прямой.
Разделимость обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка при различных условиях на потенциальную функцию исследовалась в работах Амановой Т.Т., Муратбокова М. Б. [20], Грипшпупа
Э.З., Отелбаева М. [21] и др. авторов.
Разделимость дифференциальных выражений более высокого порядка рассматривались в работах Абудова A.A. [22], Биргибаева А. [23], Бир-гибаева А., Отелбаева М. [24], Бойматова К.Х., Лизоркина П.И. [14], В.Н. Эверитта, М. Гирца [36-38], Аткинсона Ф. В. (Atcinson F. V.) [39], Эванса В.Д., Цеттла A. (Evans W.D., Zettl А) [40], Исхокова С. А. [41 ] и других авторов. В работах [22, 42, 43, 45, 46] рассмотрены дифференциальные операторы с матричными коэффициентами. В работе [46] допускалась нелинейность рассматриваемого дифференциального оператора за счет

слабого возмущения линейного оператора. Нелинейные дифференциальные выражения рассматривались в работах [15, 20, 21, 24, 25, 46, 47, 57, 58].
В работе Гриншпуна Э. 3., Отелбоева М. [21] доказано, что нелинейный оператор Штурма - Лиувилля, с положительным потенциалом всегда разделим в Li(—оо, +оо). Это показывает, что L(I) (/ = (—оо, +00)) является ’’естественным” пространством в задаче о разделимости оператора Штурма - Лиувилля.
Разделимость дифференциальных выражений с частными производными впервые исследовалась в работе Бойматова К.Х. [7]. Далее эти результаты были обобщены и развиты в работах [8, 10, 15, 25, 26, 29].
Перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации. Данная диссертация состоит из настоящего введения, двух глав, разбитых на десять параграфов, а также списка литературы, включающего 68 названия. Система нумерации параграфов в диссертации сквозная, каждый из них имеет двойную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером параграфа, а второй указывает на порядковый номер определения, леммы, теоремы, утверждения или формулы в данном параграфе.
Первая глава диссертации состоит из пяти параграфов и посвящена исследованию резольвенты оператора класса Трибеля.
В первом параграфе приведены определение дифференциальных операторов класса Трибеля и другие необходимые определения и обозначения используемые в работе, а также постановка рассматриваемых задач. На основе определения (см. [13]. с. 511) дифференциальных операторов, принадлежащего Хансу Трибелю, имеем следующую постановку задач.
Пусть Q С R- произвольной интервал, т.е. fl = (а; Ь), причем —оо а < b +оо и p(t) £ некоторая весовая функция, такая

I. lim p(t) = lim p(t) = +00, p(t) 1;
t—t—>b—
II. pM(t) = o{p1+k(t)), k = 0,1,2,
В частности, в каждом ограниченном интервале существует функция р{х), для которой р-1(ж) по существу совпадает с d{x) = dist(x, сЮ).
Пусть т- натуральное число, р,, v- вещественные числа, причем v > р + 2т. Положим
ае; — (г/(2т — I) + p,l), I — 0,1

Очевидно, что Поэтому

і(т, я) + Л
Ш2т—2 „ +3°
Д„(і,г) = -.і.у е‘
+ СХЗ

а(т, в) + Л
. (2.31)
Напомним, что везде через а(т,в) обозначено Х](~1) Р*и(г)(т)я > гДе

т £ О, 5 £ Лх, т € IV.
Далее обозначим

г(т, в) + Л_
Тогда равенство (2.31) имеет вид
(* - т) (

Отдельно находим сі
гсіі,

а(т, я) + А

#о (г,т) = <5(4, г)
При этом учитываем, что
(2.32)
(2.33)
а(т, а) + А = я2™ + (-1)У“(т)Мф2г + 9(г) + А,

где д(т) = рж°(т)6о(г), А > 0. Таким образом

а(т, я) + А
(2т — 2)я2т (а(т, в) + А)
[а(т, я) + А]2
СІЯ-
„2771

2т я2"1"1 + X) (-1)г21рЖ2'(т)Ь/(г)5:

[а(т, я) + А]2

(т - 1)(а(т, я) + А) - (т я2т + (”1У I раЄ2і(Т)(т)52/)

[а(т, я) + А]2

-я2го + 52 (~1);(т — 1 — ОРЖ2'(Т)МТ)в21 + (д(т) + А)(т — 1) і=і
[а(г,а) + А]2
сія.
(2.34)