Топологическая степень многозначных возмущений (S)+-отображений и её приложения

• Автор: Барановский, Евгений Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 115 с.

Содержание
Введение
1 Топологическая степень СЛ-возмущений отображений класса (5)+
1.1 Основные понятия и вспомогательные факты
1.2 Степень компактных СЛ-возмущений отображений класса (5)+
1.3 Степень уплотняющих СЛ-возмущений отображений класса (5)+
2 Об оптимальных задачах для систем параболического типа с асферичными множествами допустимых управлений
2.1 Функциональные пространства и их свойства
2.2 Постановка задачи и формулировка основных результатов
2.3 Операторная трактовка задачи и доказательство теоремы о существовании оптимальных решений
2.4 Пример: одна задача об управлении температурой
3 Об оптимальной задаче для одной системы дифференциальных уравнений и включений

3.1 Постановка задачи и формулировка основных результатов
3.2 Операторная трактовка задачи и доказательство теоремы о существовании оптимальных решений
4 Некоторые результаты о структуре множества решений
операторных включений и их приложения
4.1 Вспомогательные понятия и факты
4.2 Теоремы о связности множества решений операторных включений
4.3 О структуре множества решений задачи управления внешними нагрузками в одной модели изгиба пластины
Литература

Введение
К настоящему времени теория топологической степени продолжает оставаться одним из основных методов нелинейного функционального анализа. Этот метод имеет давнюю историю. Понятие степени восходит к работам Кронекера и Пуанкаре, а стройная теория степени конечномерных отображений была предложена Брауэром еще в начале прошлого века. Впоследствии эту теорию удалось распространить на некоторые классы отображений бесконечномерных пространств и многообразий. Были разработаны топологические характеристики типа степени для вполне непрерывных и уплотняющих векторных полей, для различных типов фредгольмовых отображений, для отображений монотонного типа и других классов отображений. Результаты этих исследований нашли широкое применение при изучении нелинейных краевых задач, интегральных уравнений, нелинейных моделей механики, гидродинамики и других задач.
Изучение новых ситуаций, возникающих в приложениях, приводит к необходимости построения новых топологических характеристик. В частности, представляет интерес расширение конструкций уже известных топологических характеристик на некоторые классы возмущений рассматриваемых отображений. Нередко такое расширение приводит к построению содержательной теории, позволяющей исследовать но-

(1.2.27) и (1.2.30) имеем

(А(х0) - уо, хо) = {А{хо) - у0, ^2 ам) + (А(х0) - Уо, ^ Ь^)

У^^-(Л(ж0) - Уо, и;;-) 1=
Аналогично проверяется, что
(Л(х0) - уо,«) =
ДЛЯ любого V 6 £о-
Из этих соотношений вытекает, что жу € £у|?0(см. с. 25).
С другой стороны, в ходе доказательства теоремы 1.2.1 мы установили, что Z§ = 0. Это противоречие и доказывает лемму 1.2.2.
Сравнивая (1.2.21), (1.2.22), получим требуемое равенство (1.2.20). Таким образом, корректность конструкции полностью доказана.
Построенная характеристика обладает всеми стандартными свойствами топологической степени. Проиллюстрируем это на основе теорем 1.2.2 - 1.2.5.
Теорема 1.2.2 (Аддитивная зависимость степени от области). Пусть и’ и и" - пепер ссекающиеся открытые подмножества и такие, чт,о
и для любого Е € Е(Х) множества V П Е, V" П Е локально стягиваемы. Тогда
Веё{А - С, и, 0) = Deg(A - С, и', 0) + Оеё(Л - (С, С/", 0). (1.2.31)
Согп(А, С) П (И (и' и и")) = 0.