Вопросы единственности представления функций рядами и интегралами в теории классических ортогональных систем

• Автор: Своровска, Татьяна Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 95 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава 1. Восстановление функции по её тригонометрическому интегралу

§1. Вспомогательные результаты из римановской теории тригонометрических рядов и теорема Прейсса-Томсона

§2. Римановская теория тригонометрических интегралов и теоремы

равносходимости

§3. Восстановление фунции по её тригонометрическому интегралу

Глава 2. Связь множеств единственности для рядов по мультипликативной системе и множеств единственности для мультипликативных преобразований

§1. Определение мультипликативных систем и их континуальных

аналогов

§2. Теорема о связи множеств единственности для рядов и преобразований

Глава 3. Множества единственности для кратных ортогональных рядов
§1. Вспомогательные леммы
§2. Классы -мерных множеств единственности и £7*-множеств
Список литературы

Введение
Одним из направлений теории ортогональных рядов является проблема единственности представления функции рядом по некоторой ортогональной системе функций или интегралом по континуальному аналогу соответствующей ортогональной системы функций. Диссертация продолжает исследования в данном направлении.
Изучение вопроса единственности представления функции в виде ряда по системе ортогональных функций впервые началось в теории тригонометрических рядов. В 1870 году Г. Кантор получил первую теорему единственности [10].
Теорема А (Кантора). Если тригонометрический ряд сходится к нулю всюду на [0, 2п], кроме конечного множества точек, то этот ряд является тождественно нулевым, то есть все его коэффициенты равны нулю.
В 1909 году У. Юнг улучшил этот результат, показав, что теорема Кантора остаётся в силе, если требовать сходимость ряда только вне счётного множества [46].
Дальнейший поиск исключительных множеств, ненарушающих утверждение теоремы Кантора, породил в начале ХХ-го века обширные исследования, выделившиеся в итоге в отдельную ветвь теории тригонометрических рядов, а затем и общей теории ортогональных рядов, под названием "теория единственности". Основным предметом этой теории стали множества единственности (II-множества) для различных ортогональных систем функций {уп}п, то есть множества из области определения системы такие, что ИЗ СХОДИМОСТИ произвольного ряда ПО системе {п}п К нулю вне этих множеств следует, что данный ряд является тождественно нулевым. Приняв это определение, теоремы Кантора и Юнга можно сформулировать так: любое не более чем счётное множество является множеством единственности для тригонометрической системы.
Полученные Г. Кантором и У. Юнгом множества единственности имеют меру нуль. И нетрудно показать, что любое измеримое множество Е положительной меры уже не является множеством единственности для тригонометрической системы. Действительно, возьмём совершенное множество Р С Е положительной меры и рассмотрим характеристическую функцию множества Р. Дополнение к множеству Р на отрезке [0,2-лг] является открытым множеством, значит, оно представляется в виде дизъюнктивного объединения интервалов. В силу принципа локализации Римана ряд Фурье

Введение
рассматриваемой функции сходится к нулю на каждом смежном интервале, а поэтому и всюду вне множества Е. Таким образом, существует тригонометрический ряд, сходящийся к нулю вне множества Е, но с отличными от нуля коэффициентами (в силу положительности меры множества Р нулевой коэффициент ряда Фурье характеристической функции множества Р отличен от нуля). Отсюда следует, что любое измеримое {/-множество имеет меру нуль.
До 1916 года существовала гипотеза, что любое множество меры нуль является {/-множеством. Эта гипотеза была опровергнута Д. Е. Меньшовым [23]. Он построил первый пример совершенного М-множества (множества, не являющегося {/-множеством) меры нуль. Примеры континуальных {/-множеств появились в 20-е годы ХХ-го века. Н. К. Бари [5] и А. Райх-ман [31, 32] независимо получили классы континуальных множеств единственности. В частности, они показали, что троичное множество Кантора является множеством единственности. Фундаментальным структурным результатом для множеств единственности тригонометрических рядов является теорема Бари [50, стр. 795], утверждающая, что счётное объединение замкнутых {/-множеств вновь является {/-множеством.
Дальнейшее изучение {/-и М-множеств позволило для множеств определённой структуры получить критерии принадлежности множества классу 17-множеств и М-множеств; при этом обнаружилось, что в общем, даже в самом простом случае геометрической структуры множества, вопрос о том будет ли оно {/- или М-множеством решается только с привлечением алгебраической теории чисел. В целом, проблема единственности чрезвычайно трудна, и она не решена не только для произвольных множеств, но и даже для класса замкнутых множеств.
Последовательное изложение основных результатов по теории единственности для тригонометрических рядов проведено в монографиях [50], [59].
Согласно теореме Кантора не существует двух различных тригонометрических рядов, сходящихся всюду на отрезке [0,27т], кроме, быть может, конечного числа точек, к одной и той же конечной функции. В связи с этим возникает вопрос, если тригонометрический ряд сходится всюду к функции /, обязан ли он быть её рядом Фурье, то есть можно ли восстановить коэффициенты ряда по его сумме? Естественно, для корректности поставленного вопроса необходимо на функцию / наложить требования конечности и интегрируемости в некотором смысле. В классической теории тригонометрических рядов этот вопрос был поставлен для функций, интегрируемых по Лебегу. Положительный ответ на вопрос даёт теорема Дю Буа Реймона,

Глава 1. Тригонометрический интеграл
7 00 Р7р
Ф(у) dv о p=l p
< Y! “ 1)K« - P) (=7) o(u 3).

Аналогично, f ф(ь) dvip{u — v) = o(u3). Доказательство для и —>
проводится на основе тех же рассуждений.

Прежде, чем мы перейдём к следующей теореме, напомним, что континуальным аналогом ряда Фурье для функции /, интегрируемой на прямой, является интеграл Фурье, определяемый формулой

т= [ eixxf()d,

J{X) = hj Пх)е
iXxdx.
Нам также понадобится несколько вспомогательных вычислений. Пусть
на прямой определены дважды дифференцируемые функции fug такие,

что /(±оо) = 0, д(±оо) = 0, и существуют интегралы f ~g(t) dt,
00 oo oo
1 *«§%(«) dt,I Тогда
u=x—t
d{x — t)

/ ~du9X ~u}du= J g(x ~ u) = “ “)/(“)

dg(x - t) dt