Алгоритм Якоби-Перрона и совместное приближение функций

• Автор: Парусников, Владимир Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 c. : ил

ГЛАВА I. АЛГОРИШ ЯКОБИ-ПЕРРОНА

§ I. Обозначения

§ 2. Элементарные свойства алгоритма Якоби-Перрона.. 20 § 3. Свойство соответствия непрерывной дроби

разложенному в нее вектору

§ 4. Единственность разложения в непрерывную дробь. Обрыв непрерывных дробей и линейная

зависимость над (Пн

§ 5. Слабо совершенные системы функций

ГЛАВА ГГ. ПРЕДЕЛЬНО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ Ц<$

§ Г. Свойства характеристического многочлена

§ 2. Сходимость предельно периодических непрерывных

дробей
ЛИТЕРАТУРА
В диссертации рассматривается обобщение варианта непрерывных (цепных) дробей, называемых ]? -дробями с одномерного случая на векторный. Это обобщение осуществлено с помощью алгоритма Якоби-Перрона. Чтобы определить более подробно объект нашего исследования, сделаем два отступления: первое касается Р-дро-бей и второе - алгоритма Якоби-Перрона.
Непрерывными дробями называют выражения вида
ав + ^
и . с*
+ ■ (ол)
°<а+
где. вещественные или комплексные "элементы непрерывной дроби"
С. , а, могут зависеть от параметров. Непрерывная дробь выпиг* *4
сывается по функции (ряду, числу) и тогда говорят о "разложении" в нее функции (ряда, числа). Ценность непрерывных дробей заключается в том, что подходящие дроби к ним
*,= <*о+ ^ (пеЖ+)

иногда дают лучшее приближение разложенной в непрерывную дробь величины, чем другие конструкции. Например, непрерывные дроби могут сходиться за пределами круга сходимости ряда Тейлора функции и т.п. Тип приближения и его "качество" существенно зависят
от алгоритма, с помощью которого непрерывная дробь получена,и от свойств самих приближаемых величин.
Различают несколько типов непрерывных дробей в зависимости от вида их элементов и их свойств. Это М -дроби [«З.Т -дроби 1>], С -дроби -дроби и другие (см. [гзЗ,[32}).
Особое место в теории чисел занимают правильные непрерывные
дроби

(0.2)

для которых Ж > р1 , р2,... бА/ . В них с помощью алгоритма Евклида раскладываются действительные числа. По способу получения и свойствам к ним наиболее близки функциональные непрерывные дроби, носящие название Р-дробей. Происхождение их названия (от англ. рч'.ни}о<Л р<хт( ; его ввел Магнус _20~ ) объясняется тем, что знаменатели с{< Р-дроби (более точно: Р-дроби с центром в бесконечности) находятся по исходному ряду
21 ог0'£ 2 (т0£ 2) (о.з)
как главные части ~ в точке ?-<=>*> рядов
V Г
00 Є^о
V- и
у 01к Ж), рекуррентно связанных друг с
другом: С(1:~ 4 /С 0. , к Є Ы . Все числители
Р-дробей равны единице, а их знаменатели - многочлены от £ Если отвлечься от того, что вместо взятия целой части берется главная часть ряда, то алгоритм построения Р-дробей - это алгоритм Евклида деления с остатком.
Рс.Т„В
(•иХ;
(2.4)
Заметим, ЧТО при всех ке2£ и С= 1 ^ Р^/Ги^ -^, и что периодические непрерывные дроби будут также и предельно периодическими.
Зафиксируем произвольную предельно периодическую непрерывную дробь. Все дальнейшие рассуждения будут относиться к ней.
Из существования пределов (2.4) следует, что для ЬеЖ. элементы матриц К->о° равномерно
на компактах в (С стремятся к пределам - некоторым многочленам. Выпишем эти пределы в виде матриц ^ и - Щ (£);
“Ь Ь
О 0 > о {

0 Рм
0 ь
(2.5)
(2.6)
(я Т'Т — ^ ^ Р. Р, гр ,Р Р 1Г
к-*о© -Ь+^'Л ус-»®в -Ь-^К. 1 ■*' ъ-1-1С IК I +
Для всех ’Ь^кё Ж справедливо К *Т~