Некоторые типы сингулярных интегральных операторов на плоскости

• Автор: Меркулов, Алексей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 57 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I

§1. Оценка оператора £■(■),£

§2. Формулировка теоремы и ее доказательство

Глава II

§1. Операторы Рр и Р*

§2. Оценки для Р£ и Р^е

§3. Окончание доказательства

Глава III
§1. Операторы, аналогичные коммутаторам Кальдерона
§2. Вспомогательный оператор
§3. Оценки для 5„)£ и в*
Глава IV
§1. Случай четырех множителей
§2. Доказательство леммы
§3. Частные случаи
Список литературы

Введение
Актуальность темы. Развитие теории функций побудило ввести и изучить важные сингулярные интегральные операторы несверточного типа. Первый пример подобных операторов рассмотрел Кальдерон в работе [2].Это сингулярный оператор следующего вида: если а(х) - вещественная функция с компактным носителем на оси, удовлетворяющая условию Липшица, то для гладкой финитной функции / положим
Кальдерон доказал, что оператор MTf действует из пространства І7(Ш) в пространство Ьр{Е). Случай прямой оценки МТf в норме и’(Ж) рассматривался также в работе [1]. Затем Койфман и Мейер в [3], а также Койфман, Макинтош и Мейер в [4] обобщили определение оператора Кальдерона следующим образом:
Ими было установлено, что все операторы МТп/ непрерывны в Ь1’(Ж) и получены соответствующие оценки норм, которые впоследствии были уточнены Кальдероном.
Важность изучения операторов МТп/ связана в случае прямой и с одним из возможных подходов к оценке интеграла типа
|г/-л:|>£

! С-г г
для кривых Г, являющихся графиками функций, удовлетворяющих условию Липшица, хотя впервые такая оценка была получена Кальдероном [5] без применения коммутаторов.
Одним из аналогов преобразования Гильберта на прямой
Н }'(х) = Ііт [
' е^+0 У

у~х>£
для комплексной плоскости является сингулярный интегральный оператор
= Ііт /
є-ч+О у
_/(С) . (С
1С~~1>£
(С - *)
естественно в этой связи определить аналог коммутаторов Кальдерона для плоскости следующим образом: если комплекснозначная функция К удовлетворяет условиям |У(г) — V(С)| — СЬ
то для гладкой финитной функции / положим
Т,„„. п„ I (М-А«»
£->+0 У у С -2 / (С-А)
1<-Л>е
^/(г) = вир

)2-мо
«ь — * / V* — *
ІС-Л>є
1 /(С)
к - ч
где (т(С) - плоская мера Лебега в С. Эти операторы были определены в работе [6], в ней же была доказана ограниченность этих

27Г 2тг

и (34) влечет оценку
2тг 2тг
= ^2 / / У
0 0 С
< ср6(р, Со, |Л|)п2р4р У |/(2)|^(г)Лт(г), (37)

~ 22т‘ / 1”2п 1 22п / 2п 2пп!п!_
“ 2п + 1 V ~ 2п) С[п ~~ 2п + 1 2п - 1) (2п) ~
22п / 2п 2п /27Г7г((;)"еТ^/27Гп(^)ПеТ^ ^ 4еВу/7ГП
2п + 1 2п - 1У у/27г2п(^)2пе® 2п +
Обозначим
((4е^у/п)рЪ(р,с0, |А|)4р)Р = Ьъ тогда из (37) окончательно имеем