Приближения в геометрии и анализе : орторекурсивные и синтетические методы

• Автор: Словеснов, Александр Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 80 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Плоские ленты Мебиуса и связанные с ними свойства пространственных кривых
§ 1.1. Общие свойства плоских лент Мебиуса
§ 1.2. Интегральное кручение пространственных кривых
§ 1.3. Предельное интегральное кручение
Глава 2. Приближения плоских кривых с помощью гладких круговых сплайнов
§ 2.1. Алгоритм аппроксимации
§ 2.2. Оценки погрешности и численные примеры
Глава 3. Орторекурсивные разложения по системам вложенных подпространств
§ 3.1. Фреймы в конечномерных пространствах
§ 3.2. Базисы с циркулярной матрицей Грама
§ 3.3. Орторекурсивные разложения 1/2-ф.ункций
Литература

Введение
В настоящей диссертации рассматриваются три задачи, возникшие в метрической геометрии и функциональном анализе, две из которых непосредственно относятся к теории приближений, а третья тесно с ней связана. А именно, в работе решается вопрос об интерполяции плоских кривых с помощью гладко сопряженных круговых дуг; обсуждаются орторекур-сивные методы разложения интегрируемых по Лебегу функций по неортогональным системам; а также изучаются ленты Мебиуса с плоской метрикой и свойства их средних линий, связанные, в частности, с интегральным кручением этих линий. Все эти вопросы появились в математических исследованиях последних десятилетий, а их истоки обнаруживаются еще в классической литературе.
Открытая более 150 лет назад, лента Мебиуса и сегодня является самым популярным примером неориентируемой поверхности. Наиболее известна ее конструкция в виде склейки прямоугольного листа бумаги с отождествлением одной пары противоположных сторон, при котором диагонали становятся замкнутыми кривыми. С точки зрения топологии строение полученной таким образом поверхности представляется несложным, в то время как задача ее аналитического описания оказалась весьма нетривиальной.
При отсутствии каких-либо метрических ограничений на поверхность, первый явный пример ленты Мебиуса был найден Г. Машке в работе [1] еще в 1900 г. Гауссова кривизна этой поверхности всюду отрицательна, и, следовательно, ее нельзя рассматривать как изометрический образ плоского прямоугольника. Описание примера стандартной леитм Мебиуса1 как аналитической поверхности с локально-евклидовой метрикой, которая в целом изометрична прямоугольному листу Мебиуса, было дано лишь в 1990 г. Г. Шварцем в статье [3]. При этом доказательство существования таких поверхностей было получено гораздо раньше и, по-видимому, впервые опубликовано В. Вундерлихом в 1962 г. в работе [4], где в неявном виде найдена соответствующая алгебраическая поверхность степени 39. В
1Этот термин был предложен в работе |2].

современной литературе этот вопрос также получил освещение, и здесь стоит отметить препринт К. Чиконе и Н. Кантона [5], вышедший в 2002 г. в виде статьи [6].
Изучение плоских лент Мебиуса во многом основано на использовании асимптотической параметризации развертывающейся поверхности. Если в качестве направляющей выбирается образ средней линии прямоугольного листа Мебиуса, который мы называем средней линией ленты Мебиуса, то свойства этой кривой полностью определяют поверхность, и поэтому заслуживают специального исследования. Интересные результаты в этой области были получены Т. Рандрупом и П. Родженом в [7], а основательное изучение данной тематики проведено И.Х. Сабитовым в [2].
Несмотря на множество работ, посвященных лентам Мебиуса, неисследованными оставались вопросы о сохранении регулярности асимптотической параметризации при вариации направляющей и об изгибаемости плоских лент Мебиуса. Эти вопросы рассмотрены в первой главе, где в ходе исследования мы также получили новые и довольно неожиданные результаты о поведении интегрального кручения кривых при сжатии их к плоскости.
Побудительным мотивом к постановке задачи, исследуемой во второй главе, было желание найти какие-нибудь подходы к построению конформного отображения круга на область, граница которой задана ее кривизной к(з) как функцией длины дуги а при известной общей длине кривой. Известно, что при таких условиях кривая определяется однозначно с точностью до движения своими так называемыми натуральными уравнениями, а ее замкнутость получается лишь при некоторых специальных условиях на функцию к(з). В работе И.Х. Сабитова [8) получено интегральное уравнение, впрочем, очень сложное и сильно нелинейное, решение которого дало бы условие жордановости кривой с дайной кривизной и одновременно дало бы способ нахождения конформного отображения круга на область, ограниченную этой кривой. В этом уравнении искомая кривая участвует через ее кривизну, а при постоянстве кривизны решение уравнения приводит, как и положено, к окружности. Идея была в том, чтобы приблизить к(з) кусочно-постоянными функциями и попытаться решить это уравнение при таких аппроксимациях. Затем, бесконечно измельчая размер ступенек приближающей функции, в общем случае получить решение как предел последовательности кривых, состоящих из гладко сопряженных круговых

Имеют место соотношения: а) | Дi(A, <5) | ^ С • 5, где С — некоторая
абсолютная постоянная, и б) lim Ä2(A,5) = 0.
А—о+о
Доказательство, а) Чтобы оценить |Ai(A,5)|, домножим числитель и знаменатель подынтегральной дроби на выражение, сопряженное к числителю:
А| x(t) | • A2 cos2 Tp(t) ■ I г'{t) I dt ^
(cos2p{t) + А28т2<^(4))(л/8т2^(^) + A2cos2ip(t) + | sin-^(t)|) f X2>j(t) COS ljj(t) < f Д2Н*)1 Ы/Л1.
J cos2 (p{t) + A2 sin2 (p{t) "" J cos2 cp(t) + A2 sin2 ip(t)

-6 -6 В предпоследнем неравенстве мы учли, что стоящая в знаменателе вторая скобка не меньше, чем J A cos |. Поскольку интегрирование ведется по окрестности точки, в которой cos (p(t) обращается в ноль, мы можем (за счет выбора числа 5) считать, что в этой окрестности выполняется неравенство sin2 ip(t) 5= 1/2. При этом знаменатель последней из подынтегральных дробей оценивается снизу величиной 1/2 • А2. Последнее и доказывает выписанную в формулировке леммы оценку.
б) Второе равенство можно установить аналогичными рассуждениями:

1Л АН < А /' A cos (/?(£)|>г(£)||г (t)l|sin^(t)|
2 ,/ (cos2 ip(t) + A2 sin2 (£) + А2)

б , s
^A J |^)llf/(^)lcos2 уф + X2dt^X J Mt)\f'(t)dt -> 0, A ^0 + 0.
-S -s
Лемма доказана.
Лемма 1.9 означает, что вклад особой точки t0 = 0 в предельное интегральное кручение составляет

lim А
А—>0+
fH[ty !|4ML
j cos2 ip(t) + A2' Wl -<