Интегральные представления и граничное поведение функций класса Соболева в нерегулярных областях

• Автор: Васильчик, Михаил Юлианович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 294 с.

К началу двадцатого столетия развитие теории дифференциальных уравнений и вариационного исчисления потребовало расширения класса функций, среди которых ищется решение.
В 20-х годах прошлого века при решении многих задач стали использоваться различные обобщения производной функции и расширенное понимание решения. В конце 30-х годов С. Л. Соболев ввел то понятие обобщенной производной, которое сейчас является общепринятым, определил пространства И^(О), которые сейчас называются пространствами Соболева, и установил основные соотношения между этими пространствами, а так же между пространствами и пространствами
С(Г2) р|Ьоо(П), где Г — в-мериое гладкое многообразие в Еп. Эти соотношения называются теоремами вложения.
Пространства Соболева и теоремы вложения играют чрезвычайно важную роль в теории дифференциальных уравнений с частными производными, а так же в различных областях математического и функционального анализа. Это обусловило их интенсивное изучение и к настоящему времени привело теорию пространств Соболева на всем пространстве К" или на областях с гладкой границей к практически завершенному виду.
Однако для пространств Соболева функций, определенных на областях с негладкой границей, теория еще весьма далека от завершения.
Основные результаты диссертации относятся к теоремам вложения разных измерений или, как их еще называют, теоремам о следах. Первые результаты о следах функций класса У/1р получены С. Л. Соболевым (см. [37, гл. 1]). Теоремы С. Л. Соболева давали определенный ответ на вопрос, какими свойствами обладает след функции

из Ур(£Т) на многообразии Г с П, но он давался в терминах класса Ж и не давал полного описания следов.
Первые окончательные результаты по проблеме следов функций из пространств Соболева были получены при р = 2 Ароншайном [48] и независимо от него В. М. Бабичем и Л. Н. Слободецким [1], Л. Н. Слободецким [36], Фройдом и Краликом [54], Проди [59], [60].
Дальнейшие исследования Гальярдо [51], О. В. Бесова [2], [3], П. И. Лизоркина [22], [23] и С. В. Успенского [39] привели к полному решению проблемы о следах функций классов И^ при любом конечном р ^ 1 и при условии достаточной гладкости многообразия Г. Обратимая характеристика следов функций из 1Гр(Я) на Г С П дается в терминах пространств О. В. Бесова В%(Г).
Следы функций на липшицевом многообразии охарактеризованы О. В. Бесовым [5], [6]. Более общая ситуация рассмотрена в работах Йонсона [57] и Йонсона и Валли-на [58]. В работах [5], [6], [57] и [58] описание следов дано с помощью пространств на многообразии, элементами которых являются наборы функций. Так, если Я € И^(Д), I > 1 то элементом такого пространства на множестве Гей будет набор функций где к зависит от I, р, п и размерности Г. Упомянем еще работу С. К. Водопьянова [13], где использован модифицированный подход Уитни для описания граничных значений функций из пространств Соболева И^((3) и Никольского Я^(С), заданных в произвольной области евклидового пространства. Особенность этого метода состоит в том, что он применим к любой области, независимо от гладкости ее границы.
Представляет интерес задача описания граничных свойств функций, определенных в области с кусочно-гладкой границей. В этом случае на гладких участках границы определены производные по нормали и, следовательно, правомерно рассматривать задачу о следах в постановке близкой к классической.
При этом оказывается, что при наличии на границе нерегулярных точек описание граничного поведения функций существенно зависит от геометрии области. Так, например, если на границе области есть только одна нерегулярная точка — вершина пика, то пространства следов функции класса будут различными для пика,

направленного наружу [28], [64].
В работах [31] С. М. Никольский описал пространство следов функций из пространств ЯДП) (пространства Никольского). Г. Н. Яковлев получил обратимую характеристику следов функций из И^(П) для случая кусочно-гладкой границы дО с ненулевыми углами на сЮ, образованными гиперповерхностями-участками дй [44], [46]. Задачей о следах функций на кусочно-гладкой границе области с ненулевыми углами занимались многие математики, прежде всего — в связи с краевыми задачами математической физики (см., например, [56] и [53] и приведенную там литературу).
В работах [44] и [45] Г. Н. Яковлев рассмотрел области на плоскости, границы которых имеют изолированные особенности, нарушающие липшицевость границы, в том числе и нулевые углы. Это, по-видимому, были первые работы, где исследовались следы функций на границе, содержащей нулевые углы.
В работе [25] В. Г. Мазья получил необходимые и достаточные условия на следы функций из И^1 (0) для случая области в К”, п > 3, граница которой содержит пики. При доказательстве В. Г. Мазья использовал преобразование Фурье, что не позволяет перенести непосредственно методы доказательства на случай произвольного р > 1. В работе В. Г. Мазьи и С. В. Поборчего [28] получено описание следов для произвольных р 6 (1, оо). Одновременно и независимо этот же результат был получен в работе [64]. В работе [27] В. Г. Мазья и С. В. Поборчий рассмотрели случай
р= 1.
В работах [29], [64] и [70] рассмотрена задача о следах для функций класса И^1 и для других областей, кроме пика, имеющих на границе нулевые углы — некоторые случаи гребней, области между и вне касающихся гиперповерхностей.
Мы рассматриваем теоремы о следах только для пространств Соболева И^С?). Аналогичные рассмотрения можно было бы провести и для некоторых других функциональных пространств, например, для пространств Бесова Б“Л(С). Но наша главная цель — изучить граничное поведение функций, определенных в областях с нулевыми углами на границе, исследовать зависимость этого поведения от геометрии области. Для этой цели пространства Соболева подходят наилучшим образом. С одной стороны, они наиболее просто определяются и наиболее изучены, что позволяет

ф{а) ф(а+т)
О 0 1*2
Ф{а)
+{/„/[//*<„«»(^) К|)|^}
О Е2 О Ф(а)
+{/“* / [/ IЧ>)М*ОтО |я' (т)| £]'*}'
О К2 о
/1 ^(з) Щв) . Т ,
Ч/* Iи* I «,(1) £]’*}’)
О Е2

=с£Х>* 1=1 ;
(2.2.42)
Через ЛГ; в (2.2.42) обозначена функция |21ф Оценим интеграл /ц. Используя последовательно неравенство Гельдера в интеграле по < и неравенство Харди (1.2.1), получаем
ф(а)
(1 - В - р <2
О Щ2
У’(а)
^(8 + р) ’ ф{8 + р)

» йр X-
'АЬ1
0 0 М2

.с{/те^*/в(-ц2 0
ф(а 4- р) ’ + р)
о о
Рассмотрим интеграл в квадратных скобках Ф(а)

ф(з + р) ’ ф{а + р)] ф‘2{э + т)
фр(в + р) ) ■“}’
’ V
с1т >
= /*/<£,(

(2.2.43)
Ф{б + р) ’ ф(в + р) У ^2(5 + т)‘
и и
Фактически интеграл (2.2.43) вычисляется по области, определяемой неравенствами
5 + Т<Н<8 + Г + Ф(б + т),
О < ^2 < Ф(в + г), 0 <Т<Ф(б).
Обозначим через ц функцию, обратную к функции г —> г + ф{г). Тогда, если а = г + 1Д7-), то г = 7]{а) и
ц(ст) + ^(ч(<г)) = ст
(2.2.44)