Оптимальное восстановление некоторых линейных операторов на классах функций по неточной информации

• Автор: Чудова, Софья Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Задачи оптимального восстановления
1.1. Введение
1.2. Общая постановка задачи оптимального восстановления линейного оператора
1.3. Оценка снизу для погрешности оптимального восстановления
1.4. Общая теорема об оценке сверху
1.5. Задачи выпуклого программирования
Глава 2. Восстановление разностей последовательностей
2.1. Постановка задачи
2.2. Формулировка результатов
2.3. Доказательства
2.4. Численный эксперимент
Глава 3. Восстановление функций и их дробных производных по неточно заданному спектру
3.1. Оптимальное восстановление по преобразованию Фурье .
3.2. Оптимальное восстановление по коэффициентам Фурье .
Глава 4. Восстановление интегралов по многомерным шарам на различных классах гладких функций по информации о граничных значениях функций и их нормальных производных
4.1. Предварительные сведения

4.2. Восстановление интеграла по ^-мерному шару от функции
из по её значению на границе
4.3. Восстановление интеграла по единичному кругу от функции из И^(02) по значению на границе самой функции и
ее нормальных производных до (гг — 1)-го порядка
Заключение
Литература
Приложение А

Введение
Актуальность работы
Во многих практических задачах возникает ситуация, когда необходимо знать (по возможности, точно) какую-либо характеристику сигнала (скажем, его значение в данной точке, или интеграл от него, или вообще целиком весь сигнал в той или иной метрике) по некоторой информации о самом сигнале (например, известны значения этого сигнала в данном наборе точек или известны его коэффициенты Фурье, Тейлора и т.п.), которая может быть задана неполно и/или неточно. Математическая теория, где ставятся и изучаются подобного рода задачи называется теорией оптимального восстановления. Она активно развивается последние несколько десятилетий. Теория оптимального восстановления предлагает новый подход к решению достаточно широкого класса задач, связанных с восстановлением тех или иных характеристик объектов по неполной и/или неточной информации о самих объектах. Важная особенность данного подхода заключается в том, что ставится задача о нахождении на данном классе элементов метода восстановления, являющегося наилучшим среди всех возможных.
Цели диссертационной работы:
Диссертация посвящена решению различных задач теории оптимального восстановления линейных операторов по неточной информации. Рассматриваются следующие задачи:
1. Восстановление разностей последовательностей по неточной информации о самой последовательности.
2. Восстановление функций и их дробных производных по неточно заданному спектру;
Оценим погрешность методов вида т(у) = Ак(г * у). По определению погрешности
е(Ак^^(2,'у),8,т) = эир \Акх- Ак(г*у)||2.
||ас—у||г<<5 ||Дпж||2<
Перейдя к преобразованию Фурье, получим задачу:
еш — 12кРх(ш) — Рг(ш)Ру(ш)2 (1ш —*• шах, (2-4)

1^(0;) — Еу(и>) | ёи> <

е*> _ 1|2»|^х(ш)|гс1ш < 7 .
Положим а(и>) — Рх(ш) — Ру{ш),Ь(ю) — 1 — Рг(и>), тогда по неравенству Коши-Буняковского
|^т(ш) — Рг(ш)Ру(ш) |2 = Рг(ш)а(и>) + Ь{ш)Рх(и)
ДГ 6(ш)
;7Л1а(о;) +
Л2|егш - 1|^т(и;)
Л2|е^ - 1|"

< I ^—— б -
V А! Л2|е^
— I (А1|а(и)|2 + А**" - 1|2"|ЛгМ|2) .
Для допустимых в задаче (2.4) функций Рх(-) получим
егШ _ _ рф)Ру(ш)2с1ш < К(г)(152 + Л2Т2),

К(г)= эир егш-1
Ш€[— 7Г,7Г]

А1 Л2|егш - 1|2" / Следовательно, для всех г, таких что К (г) < 1, оценка снизу совпадает с оценкой сверху, а это означает, что методы т(у) = Ак(г * у) являются