Специальные представления, конструкции и алгебраические свойства действий с инвариантной мерой

• Автор: Приходько, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 83 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Специальные представления многомерных каскадов
§1.1. Лемма Рохлина-Халмоша и теорема Альперна
§1.2. Специальные представления ЪА-действий
§1.3. Случай размерности
§ 1.4. Леммы о Р-упаковках
§1.5. Доказательство теоремы о существовании специального
представления
Глава 2. Конструкции потоков ранга
§2.1. Универсальная конструкция потока ранга
§2.2. Стохастическая конструкция
§2.3. Пример семейства перемешивающих потоков ранга
§2.4. Схема доказательства основной теоремы
§2.5. Леммы о больших уклонениях
§2.5. Некоторые предельные теоремы
§2.6. Доказательство свойства перемешивания
Глава 3. Джойнинги группы автоморфизмов тора
§3.1. Структурная теорема о джойнингах группы ОЦп,г)
§3.2. Классификация эргодических джойнингов
Библиография

Введение
Подход к изучению динамических систем как действий группы (3 на пространстве с мерой (X, Л, ц) был заложен в классических работах Пуанкаре, фон Неймана, Колмогорова, Рохлина и др. (см., например, [3], [7] и [19]).
Свойства динамических систем, формулируемые на языке действий с инвариантной мерой, называются метрическими. Исследование метрических свойств динамических систем составляет одну из основных задач эргоди-ческой теории.
Для приложений актуальным является изучение действий групп Ъ (каскадов) и Е (потоков). Исследование действий групп и действий некоммутативных групп также имеет большое значение, в частности, для изучения свойств классических динамических систем (каскадов и потоков) (см. [1], [7]). Одним из примеров применения действий общих групп является спектральный анализ геодезических потоков на замкнутых поверхностях постоянной отрицательной кривизны (см., например, [1]). Теория действий групп с инвариантной мерой имеет и другие важные приложения в современной математике; например, хорошо известны приложения теории динамических систем на однородных пространствах к теории чисел.
Дисертация посвящена изучению некоторых комбинаторных, алгебраических и статистических свойств действий с инвариантной мерой.
При исследовании многих проблем эргодической теории возникает необходимость в получении информации о комбинаторных свойствах и структуре динамической системы. Знание свойств такого типа позволяет применять при изучении системы различные комбинаторно-геометрические методы (см., например, [5], [7] и [19]).

Одним из разделов современной эргодической теории, широко использующим комбинаторные методы, является теория аппроксимации динамических систем, вклад в развитие которой внесли Каток, Колмогоров, Кин, Оселедец, Сатаев, Стёпин и многие др. (см. [5], [1], [7], [4], [6], [8], [9], [17], [30]). Метод теории аппроксимации состоит в приближении заданного действия с инвариантной мерой (каскада, потока и т. д.) действием с прострой структурой, например, периодическим. Данный метод оказывается очень полезен в спектральной теории динамических систем, например в вопросах, связанных со спектральной кратностью (см. [5], [9]), а также с введенным Колмогоровым групповым свойством спектра (см., например, [9], [40]). Недавно Агеевым и Рыжиковым методами теории аппроксимации была решена проблема Рохлина о существовании преобразования с однородным спектром кратности 2. Еще одной иллюстрацией к сказанному служит исследование ряда метрических свойств потоков на поверхностях рода р 1 ([17], [4]) с помощью сведения к изучению перекладываний отрезков — систем, обладающих хорошими аппроксимационными свойствами (см. [30], [31]).
В основе теории аппроксимации динамических систем лежит известная лемма Рохлина-Халмоша (см. [19]), утверждающая, что, если автоморфизм Т пространства Лебега (X, А, р) является апериодическим, то для любых е > 0 и Н 6 N существует В & А такое, что множества В, ТВ
Приведём некоторые обобщения данной леммы. Следующее усиление леммы Рохлина-Халмоша часто используется в энтропийной теории динамических систем (см., например, [47]).
Теорема 1. Для любых /г б М, £ > 0 и конечного разбиения Р пространства (X, А, р) существует башня II высоты /г с основанием В, такая, что р(и) > 1 — е и У А £ Р р(А В) = р(А).

Ясно, что Р — плотность случайной величины кп + Рассмотрим функцию Р(/±) = Ь~рп (1~ + ?+), где Ь = }гп + и покажем, что она является стационарной плотностью для марковского процесса Ф, который мы зададим переходными вероятностями
(]± ,±ч _ М/±+(е-е)(), если 1+ > е,
[де-1+(1~)Р(1~ + /+), если 1+ £,
где 0 < е < кп. Переходные вероятности ти для пооизвольного и > О определяются следующим образом. Рассмотрим некоторое разбиение полуинтервала [0,и] на полуинтервалы щ), к = 1 такое, что
и к — ик-1 < Нп и положим
т„(Г,В) := /’т„,((±,Ш±) [тш-ии_, ((*_„ В),
К2 М2
где В — измеримое подмножество
Можно показать, что это определение корректно, т. е. определенные меры не зависят от выбора разбиения, и мы не останавливаемся на этой простой выкладке. Заметим только, что корректность достаточно проверить для и £ (0, й„), так как от любой пары разбиений можно перейти к их измельчению, а для малых и корректность (эквивалентная условиям Колмогорова-Чэпмена) проверяется непосредственно.
Для и < 0 меры ти определяются аналогично.
Проверим, что плотность Р действительно стационарна. Пусть
т1е(В) := [ Р(1±)т£(1±,В)сИ±.
3 Щ.
Для измеримого множества В С {1£ > е} имеем
т]£{В) = I Р{1±)с11± = I Р(1±)с11±,
(—е,е)+В В
а для В С {1~ е}:
I Р(/±) I Р{е ~1+ + Р) с11+
{1+е} {/+:(£-/+,/+) 6 В)