О голоморфном продолжении гиперфункций и распределений, заданных на гиперповерхности

• Автор: Якименко, Мариам Шамилевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 71 с.

Оглавление
Введение
1. Актуальность темы
2. Цель диссертации
3. Методика исследования
4. Научная новизна
5. Публикации и апробация раб'оты
6. Структура и объем работы
7. Содержание работы
1. Предварительные сведения
1.1. Определение гиперфункции
1.2. СД-гиперфункции на гиперповерхности
1.3. Теорема двойственности Г’ротендика
1.4. Строгие граничные значения
2. Голоморфное продолжение гиперфункций, заданных на границе области
2.1. Потенциал простого слоя
2.2. Представление Пуассона
2.3. Граничное значение гармонической функции
2.4. Теоремы о скачке
2.5. Однородная 9-задача Неймана
2.6. Преобразование Бохнера-Мартинелли
3. Голоморфное продолжение распределений, заданных на границе области
3.1. Основное утверждение
3.2. Доказательство вспомогательных результатов
4. Аналог задачи с косой производной для гармонических функций
в С2
4.1. Постановка задачи
4.2. Основной результат
4.3. Вспомогательные результаты
Список литературы
Введение
1. Актуальность темы
В начале XX века открыт один из самых замечательных фактов в многомерном комплексном анализе (Гартогс, 1906; Пуанкаре, 1907) функция, голоморфная на границе области со связным дополнением, голоморфно продолжается внутрь этой области.
Бохнер и Севери в 1943 году независимо друг от друге нашли дифференциальные условия голоморфной продолжимости в область гладкой функции, заданной на гладкой связной границе области (см. [20], а так же [17]). Эти условия позже получили название касательных уравнений Коши-Римана, а функции, удовлетворяющие им, назвали СИ-функциями.
Известная теорема Гартогса-Бохнера (см., например, [16]) утверждает что для того чтобы функция /, заданная на границе ограниченной области 12 в С™ (то > 1) со связным дополнением, имела голоморфное продолжение в 12 необходимо и достаточно, чтобы / была СіТ-функцией на 12, то есть

для всех внешних дифференциальных форм типа (п,п — 2) с коэффициентами класса С°° в окрестности границы.
Эта теорема доказана для различных классов функций.
Тем не менее эта теорема не снимает вопроса о нахождении других (отличных

Следствие 2.1. Если Т — распределение на Г, то
Т(ф) = Нт [ Т(у)<р+(у)да(у)
е:—>-4-0 J
(2.10)

Доказательство. Действительно, по формуле Грина
Из свойств гармонических функций конечного порядка роста имеем (определение таких функций см. в гл.З)
Покажем эквивалентность определений граничного значения (2.9) и строгого граничного значения Росея, Стаута (1.7).
Следствие 2.2. Строгие граничные значения /?/, р и граничные значения Ь/ гармонической функции / Є Q(Q) совпадают.
Доказательство. Формула Грина показывает, что

—(У (<р) — У+{(р))да 0 при є -> О,

(см.[7]). Тем самым следствие (2.1) доказано.

Так как V (ф) - У+{ф) = 0 н Г, то V {ф) — У+{Ф) = поэтому
По формуле скачка нормальной производной потенциал простого слоя