Операторные и следовые неравенства в алгебрах операторов

• Автор: Динь Чунг Хоа
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 89 с.

Оглавление
Введение
1 К теории операторно монотонных и операторно выпуклых функций
1.1 Основные обозначения и предварительные сведения
1.2 Операторно выпуклые функции относительно операторных алгебр
1.3 Неравенства для элементов расширенной положительной части
' алгебры фон Неймана
1.4 Неравенства для ограниченных операторов в пространстве с индефинитной метрикой
2 Взвешенные следовые неравенства
2.1 Взвешенные следовые неравенства для измеримых операторов .
2.2 Взвешенные следовые неравенства для положительных операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана
2.3 Взвешенные неравенства для следов на С*-алгебрах
3 Характеризация следов неравенствами
3.1 Характеризации следов на полных матричных алгебрах
3.2 Характеризации следов среди нормальных весов на алгебрах фон Неймана
3.3 Характеризации следовых функционалов на С*-алгебрах
Список литературы

Введение
Актуальность темы. Различные неравенства, содержащие операторы, следы и веса, являются одним из важнейших аппаратов исследования операторных алгебр и связанных с ними пространств измеримых операторов и билинейных форм. Многочисленные работы посвящены изучению таких неравенств, либо включают подобные исследования как свою существенную часть.
Операторно монотонные и операторно выпуклые функции впервые исследовались в 1930 годах в работах К. Левнера [27] и Ф. Крауса [26]. Такие функции часто встречаются в исследованиях по теории операторных алгебр и при получении различных операторных неравенств (см., например, [4], [16], [18], [19], [21], [55] и др.). Они также применяются в различных областях физики, например, в квантовой механике, в теории связей и квантовой информации, в специальной теории относительности (см., например, [8]), и в экономической теории [17].
Одной из интересных задач в этой тематике является изучение классов операторно монотонных и операторно выпуклых функций относительно заданной алгебры операторов. В работах [29] и [42] с помощью теории представлений С7*-алгебр X. Осака, С. Д. Сильвестров и Ж. Томияма дали описания классов операторно монотонных и операторно выпуклых функций относительно заданной С*-алгебры. Имеются другие работы, посвящены изучению классов операторно монотонных функций и связанных с ними проблем (см., например, [1], [20], [30]).
Рассмотрение алгебры фон Неймана как некоммутативного аналога пространства Ь°° существенно ограниченных измеримых функций является ос-

новой развития так называемого некоммутативного интегрирования.
В работах 50-х годов И. Сигала [41] и Ж. Диксмье [9] была создана теория интегрирования относительно унитарно инвариантной меры на проекторах или то же самое, относительно точного нормального полуконечного следа на полуконечной алгебре фон Неймана. Распространяя сигаловскую теорию на веса, А. Н. Шерстнев создал и со своими учениками развил теорию интегрирования относительно нормального полуконечного веса (см., например, [66]). В работе [15] У. Хаагеруп впервые ввел понятие расширенной положительной части алгебры фон Неймана при изучении неограниченных условных ожиданий в некоммутативном контексте.
В нашей работе рассматривается вопрос об описании классов оператор-но выпуклых функций относительно произвольной алгебры фон Неймана. В отличие от [29], наш подход базируется на некоторых хорошо известных результатах из структурной теории алгебр фон Неймана. Также исследуются неравенства для элементов расширенной положительной части алгебры фон Неймана и неравенства для линейных ограниченных операторов в бесконечномерном пространстве с индефинитной метрикой.
Другое направление предлагаемой работы — исследование следовых неравенств на алгебрах фон Неймана и С*-алгебрах, и их применение к задачам о характеризации следов в классе всех нормальных весов или линейных функционалов на алгебрах фон Неймана и С'*-алгебрах.
Хорошо известны аналоги классических неравенств (треугольника, Щвар-ца, Гельдера, Коши-Буняковского, Минковского, Юнга, Гольдена-Томпсона и др.) для канонического следа Тг на полных матричных алгебрах и для следов на операторных алгебрах (см., например, [8], [25], [19], [35], [48], [52], [64] и др.). Пусть т — точный нормальный полуконечный след на алгебре фон Неймана АЛ (см., например, [45, глава V, §2]). В данной работе для плотно заданных самосопряженных операторов А, В, присоединенных к алгебре фон Неймана М., вещественных функций / и неотрицательных весовых функций и> рассматриваются неравенства
т(v^(A)1/2f(A)w(A)1/2) < т(ш(А)1/2/(Д)гу(А)1/2) (А < В).

метрику [•,•], порожденную симметрией J (см., например, [53]):
Ы = 7> Й,Г)6Я).
Для оператора А его J-сопряженный А** определяется следующим образом:
[AÇ-. ’П] = К, АЧ (^,т?е7т;),
или это эквивалентно А* = JA*J.
Оператор А называется J-самосопряженным, если А = А или, что тоже самое, J А самосопряжен, т. е. J А — A*J. Для пары J-самосопряженных операторов А, В определим порядок A <[££,£] (£еЯ),
или это эквивалентно JA < JB, или AJ < BJ. Оператор А называется J-положительным, если [А£, £] > 0 (£ G Н), т.е. JА положителен.
Если A A J-самосопряженный оператор R называется J-модулем оператора Т, если a(R) С [0,+оо), R2 = Т#Т и Ker R — Кег Т^Т (см., например, [53, глава IV, §1]). Каждый J-бинерастягивающий оператор Т имеет хотя бы один J-модуль R и допускает J-полярное представление Т — UR. При этом, если область значений U совпадает с пространством В., то U является J-унитарным, т. е. AU = UU^ — I (см., например, [53, глава II, §5]).
Пусть / : (ск, /3) —> М — операторно монотонная функция, А — J-самосопряженный оператор со спектром в (а, /3). Тогда мы можем определи гь оператор f{A) по интегральной формуле Рисса-Данфорда (см., например, [58, VII, §3])
/(л) = л)_1ёС’ (1Л5)
где Г — замкнутый контур открытого множества в области аналитичности функции f(t), состоящий из конечных спрямляемых жордановых кривых, по-