О суммировании кратных тригонометрических рядов и сопряженных функциях

• Автор: Гоголадзе, Лери Давидович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 258 c. : ил

ГЛАВА I. О СИЛЬНОМ СУММИРОВАНИИ ПО ПРЯМОУГОЛЬНИКАМ
§ 1.1. Обозначения, определения
§ 1.2. Равномерное сильное суммирование
§ 1.3. О некоторых неравенствах, связанных с (И^К) суммируемостью простых тригонометрических рядов
Фурье
§ 1.4. О сильной суммируемости почти всюду кратных тригонометрических рядов Фурье и сопряженных рядов..'
ГЛАВА II. О СИЛЬНЫХ СРЕДНИХ ТИПА И.МАРЦИНКЕВИЧА
§ 2.1. Аппроксимативные свойства сильных средних типа
И.Марцинкевича
§ 2.2. Об экспоненциальных сильных средних типа
И. Марцинкевича
ГЛАЗА III. 0 СУММИРОВАНИИ КРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
ФУРЬЕ ЛИНЕЙНЫМ МЕТОДАМИ
§ 3.1. Об оценках приближения функций мультипликативными линейными средними, выраженных через наилучшие
приближения квазиполиномами
§ 3.2. О прямоугольных суммах Валле Пуссена
ГЛАВА ХУ. О ПОВЕДЕНИИ СОПРЯЖЕННЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ И СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

§ 4.1. Некоторые утверждения о кратных числовых рядах
§ 4.2. Об ограниченности сходящихся средних кратных
функциональных рядов
§ 4.3. О теоремах А.И.Плеснера, И.МарцинкевичаА.Зигмунда
Глава V. О СОПРЯЖЕННЫХ ФУНКЦИЯХ
§ 5.1. К задаче П.Л.Ульянова о существовании сопряженных
функций многих переменных
§ 5.2. К задаче М.Гусмана о максимальной функции ХардиЛиттл вуда
§ 5.3. К задаче Л.Лейндлера о сильной аппроксимации рядами
Фурье и классах Липшица
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЁ
Диссертационная работа посвящается вопросам суммируемости кратных тригонометрических рядов Фурье и сопряженным функциям.
Она состоит из введения и пяти глав.
В главе I рассматривается вопрос сильной суммируемости по параллелепипедам.
В §1.1 приведены обозначения и определения, которые используются в дальнейшем.
В §1.2 изучено равномерное сильное суммирование кратных тригонометрических рядов. В одномерном случае равномерной сильной суммируемости посвящено много работ. Сначала Харди и Литтлвуд[72]
показали, что для любого -[бССТ1), Т-["1ь^] и К>0

?т -^—Ц эс)П[ = о •
т + 1 11 “1 1 ССТ)
Далее, в работах [59] , [79] -[84] , [107] , [108] , [91] , [104] ,[77] и других была найдена взаимосвязь между скоростью стремления к нулю при т->оо, величины т
ШКзО-бпСЬз;)! ат,п
п=о
и порядка гладкости функции -р ,где (&т,п) -некоторая положительная матрица. В многомерном случае сделано значительно меньше.
Пусть ^7 1 7 -множество всех непустых подмножеств
множества -{I)” * * ^ } • Будем говорить, что матрица А = (&т^), Ш,0€ 2? ^ принадлежит классу /А^ ^ ^ »если и ее
элементы для любых |п , П 6 В о 1 В £ удовлетворяют следую-
-50-т
К'Ап = ± + — У-А(а) 0)5о1, <*>-•*. б-з-О
т ' ' 2 А <Ы1
г т
кГ(0 = А,ЕаГ’ а»о* • (1-3-«
Пт V
(оО (с{+1) • • • (о/ + ж

еЦ$,х)*±Кх*Ч К>)^»

Ясно, что бт (1,3е) обозначают чезаровские средние порядка о{ ряда функции -р или сопряженного ряда, т.е. ($>%■) -
= [б*}(£, эО или ё(:Ьх)].
Хорошо известно (см. [35],стр.276 и 278), что
а) А0ьЛ)уЛг , $) А('сЛ)*хЬ:1,
(“1)
НОЕИ.хП) бЭС-у(1+-у-) . хеЕ(?4). (1-з-в)
I &
1 и(|Цл,кЛ)Д хеЕ(М). (1-з-С)

Используя замкнутость множества Е(Е<0 » неравенство (1.3.5)
можно уточнить следующим образом
и(Цл,хЛ) ± %■%({+(1'3'?)