Диссертация на тему "AJW-алгебры и приложения к теории измеримых операторов", скачать бесплатно автореферат по специальности 01.01.01 - Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Содержание
Введение
Глава 0. Предварительные сведения
0.1. Йордановы алгебры
0.2. /В-алгебры
0.3. АТУ*-алгебры и алгебры фон Неймана
0.4. Универсальные обертывающие алгебры
фон Неймана JBW-алгебр
0.5. Булевозначная реализация JB-алгебр
Глава 1. АЛУ-алгебры
1.1. Определение АЛУ-алгебры и ее решетка проекторов
1.2. Об определении АЛУ-алгебры
1.3. Об одном аналоге пирсовского разложения
для общих /Л-алгебр
1.4. АЛУ-факторы типа I
1.5. Определения АЛУ-алгебр типов I, II и III
1.6. AJW-алгебры типа I„, 1 < п < оо
1.7. Бесконечные суммы
1.8. Симметризованные матричные единицы
1.9. AJW-алгебры типа 1п,
где п — бесконечный кардинал
1.10. n-однородные АЛУ-алгебры
1.11. Классификация АЛУ-алгебр
1.12. Вероятностные меры и состояния на АЛУ-алгебре типа I
Глава 2. Йордановы алгебры абстрактных измеримых
операторов для обратимых ЛУ-алгебр
2.1. Измеримые операторы для обратимой JW-алгебры
2.2. Локально измеримые операторы для обратимой ЛГ-алгебры
2.3. Измеримые относительно центразначного и числового
следов операторы
2.4. Z-0-измеримые операторы для обратимой ЛГ-алгебры
2.5. Измеримые операторы для обратимой ЛУ-алгебры
в булевозначной модели теории множеств
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Данная диссертационная работа посвящена теории йордановых алгебр. Эти алгебры впервые введены в работах немецкого физика П. Иордана, посвященных аксиоматизации основ квантовой механики. В дальнейшем их также исследовали Дж. фон Нейман и Е. Вигнер, которыми совместно с П. Йорданом в середине 1930-х гг. была разработана аксиоматическая теория квантовой механики.
До середины 1960-х гг. йордановы алгебры рассматривались как чисто алгебраический объект. Позже они стали также изучаться с точки зрения функционального анализа.
Йордановы алгебры имеют тесную связь с ассоциативными алгебрами. Пусть А — ассоциативная алгебра над полем характеристики ф
2. Определим на векторном пространстве алгебры А новую операцию умножения а о Ь = 1/2(аЬ + Ъа). Полученную алгебру обозначим через А]. Эта алгебра является йордановой. Если подпространство В алгебры А замкнуто относительно операции о, то оно вместе с этой операцией образует подалгебру алгебры А1 и, следовательно, является йордановой алгеброй.
Над любым полем существует йордановы алгебры, не являющиеся подалгебрами алгебр А} ни для какой ассоциативной алгебры А. Если йорданова алгебра В является подалгеброй алгебры А], где А — ассоциативная алгебра, то В называется специальной йордановой алгеброй.
А. И. Ширшов доказал, что любая йорданова алгебра с двумя порождающими специальна.
С началом систематического изучения йордановых алгебр с точки зрения функционального анализа была развита теория, которая тесно связана с теорией С*-алгебр и алгебр фон Неймана (см. 0.3.6). Основным объектом этой теории являются JB- и /ДРН-алгебры (см. 0.2.6 и
0.2.2). В частности, /ДТЕ-алгебры являются йордановыми аналогами алгебр фон Неймана.
Одним из важных вкладов в теорию йордановых алгебр является работа П. Йордана, Дж.фон Неймана и Е. Вигнера [43]. В этой работе

построена классификация всех простых конечномерных формально вещественных йордановых алгебр. Конечномерные .7БТК-факторы типа I являются конечномерными формально вещественными йордановыми алгебрами (изученными П. Иорданом, Дж. фон Нейманом и Е. Вигнером). С другой стороны, каждая простая конечномерная формально вещественная йорданова алгебра является ТБРБ-фактором типа I.
/Б-алгебры играют существенную роль применительно к теории С*-алгебр, математическим основам квантовой физики и теории комплексных функций нескольких и бесконечного числа переменных. Рассмотрим некоторые аспекты этого применения более подробно.
В теории С*-алгебр теоретические вопросы, связанные с порядком, имеют прямое отношение к йордановым алгебрам. В частности, классический результат, полученный Р. В. Кадисоном [44] утверждает, что порядковый автоморфизм С*-алгебры есть Йорданов автоморфизм. Теория, развитая в монографии [44], до сих пор применяется в современных исследованиях пространств состояний, антигомоморфизмов и положительных идемпотентных отображений С*-алгебр.
Одна из аксиом математической теории квантовой физики заключается в том, что случайные величины (так называемые наблюдаемые величины) образуют йорданову алгебру.
Более того, если мы хотим чтобы к этим наблюдаемым величинам можно было применить спектральную теорию мы должны потребовать, чтобы они образовывали /Б-алгебру. Эта взаимосвязь подробно рассмотрена в книге [35].
Обоснование того, что йордановы алгебры имеют прямое отношение к теории голоморфных функций нескольких переменных, впервые было дано в работе [50]. Позже аналоги результатов, полученных в этой работе, были установлены для случая комплексных функций бесконечного числа переменных (см. [49]). Ключевой результат, выявляющий эту связь, выглядит следующим образом: некоторые симметрические области (в С” или в комплексном банаховом пространстве) могут быть полностью охарактеризованы в терминах ЛЗ-алгебр.
Основная часть диссертационной работы посвяшена теории йордановых алгебр самосопряженных операторов («7С- и ЛК-алгебр, см. 0.2.1) и их абстрактных обобщений — 7Б- и /БТК-алгебр. Предполагается, что все алгебры, рассматриваемые в диссертационной работе, являются алгебрами с единицей. Они являются вещественными неассоциативными аналогами С*-алгебр и алгебр фон Неймана. Впервые систематическое изложение теории ЛК-алгебр было дано в 1965 г. в работе

ных ограниченных операторов в нем. Предположим, что отображение
ф:=фх:В
инъективно и удовлетворяет следующим условиям:
(1) ф(Ь) — проектор единичной нормы для любого 6 £ В, причем ф{ 1) и 0(0) совпадают с тождественным и нулевым оператором соответственно;
(2) проекторы ф(Ь) и ф(Ь') коммутируют, каковы бы ни были Ь, Ь1 £ В;
(3) для любых b и У выполняются равенства ф(Ъ Л Ъ') = ф(Ъ) о ф(Ь') и
ф{Ъ*) = 1Х- Ф{Ь).
Тогда множество В := ф(В) называют полной булевой алгеброй проекторов в пространстве X. Описанную ситуацию будем записывать символически в виде В С С(Х). Булевы алгебры В и В не различают и говорят о булевой алгебре проекторов В.
Пусть X и Y — банаховы пространства, причем В С С(Х) ж В С C{Y). Оператор Т : X —э Y называют В-линейным, если он линеен и перестановочен с проекторами из В, т.е. если Ъ о Т — Tob. Множество всех В-линейных ограниченных операторов из X в Y обозначают через Cß(X,Y). При этом £ß(X, Y) — банахово пространство и В С £ß(X,Y). Пусть X# = £ß(X,B(R)).
Пусть А — некоторая В — JB-алгебра и Л := B(R). Оператор Ф £ А# называют к-значным состоянием, если Ф > 0 и Ф(1) = 1. Состояние Ф именуют нормальным, если для любой возрастающей сети (.ха) С А, имеющей точную верхнюю границу х := supxa, выполняется Ф(ж) = sup Ф(ха). Алгебру А называют В — JBW-алгеброй, если она монотонна полна и имеет разделяющее множество Л-значных нормальных состояний.
0.5.3. Имеет место следующая теорема, доказанная А. Г. Кусраевым ([12]), которая является основой для развитой в параграфе 2.5 теории.
Теорема. Ограниченный спуск /В-алгебры из модели V(ß> представляет собой В — JB-алгебру. Наоборот, для любой В — JB-алгебры А существует единственная с точностью до изоморфизма JB-алгебра А, ограниченный спуск которой изометрически В-изоморфен А. При этом || А является JB-фактором || = 1 в том и только в том случае, если B(R) = Z(A). Кроме того, А будет В — /ВРК-алгеброй в том и только в том случае, когда булевозначная реализация А £ V алгебры А является ЛЗТК-алгеброй внутри VB

Название работы	Автор	Дата защиты
О задаче Коши и формулах Карлемана для комплекса Дольбо над пространствами распределений	Федченко, Дмитрий Петрович	2010
О следах функций анизотропных пространств с дифференциально-разностными характеристиками на гладких многообразиях и в бесконечности	Шмырев, Геннадий Александрович	1984
Сходимость кратных рядов и интегралов Фурье некоторых классов ограниченных функций	Бахвалов, Александр Николаевич	2000

Электронная библиотека диссертаций

AJW-алгебры и приложения к теории измеримых операторов

Рекомендуемые диссертации данного раздела