Спектральная теория разностных и дифференциальных операторов и вырожденные бесконечно дифференцируемые полугруппы операторов

• Автор: Бичегкуев, Маирбек Сулейманович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Владикавказ
• Количество страниц: 225 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. ОБ УСЛОВИЯХ РАЗРЕШИМОСТИ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ И ВКЛЮЧЕНИЙ. ПРИЛОЖЕНИЯ К РАЗРЕШИМОСТИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1. Некоторые понятия из теории линейных отношений

§2. Условия разрешимости разностных уравнений

с начальным условием из подпространства. Оценки

решений

§3. Условия разрешимости разностных включений

§4. Ограниченные решения разностных включений

§5. Приложения к вопросам разрешимости линейных
дифференциальных уравнений
Глава 2. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В
ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
§1. Спектр разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах двусторонних последовательностей и функций, определенных на вещественной прямой

§2. Спектр разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах односторонних
последовательностей и векторных функций на полуоси . . 134 §3. Условия обратимости разностных и дифференциальных
операторов в весовых пространствах
§4. Экспоненциальная дихотомия разностных операторов, связанных с полугруппой Хоулэнда, и их спектральные
свойства
Глава 3. БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ
ВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ . 177 §1. Ослабленная задача Коши для линейного
дифференциального включения
§2. Линейные отношения и бесконечно дифференцируемые
полугруппы операторов
§3. Базовый генератор бесконечно дифференцируемой
полугруппы операторов
ЛИТЕРАТУРА

Список обозначений
N — множество натуральных чисел;
Ъ — множество целых чисел;
= N и {0} — множество неотрицательных целых чисел;
I — одно из множеств: К, 2+
Ж — множество действительных чисел;
М+ = [0, сю) — множество неотрицательных действительных чисел;

= (0, оо) — множество положительных действительных чисел;

J— один из промежутков: К, М+, Е+;
С — множество комплексных чисел;
С — расширенная комплексная плоскость;
Т = {Л 6 С : |А| = 1} — единичная окружность;
X, У, X, У — комплексные банаховы пространства;
X х У — декартово произведение двух банаховых пространств X и У]
X* — сопряженное к X банахово пространство;
1^(1, X), 1 < р < оо, — банахово пространство суммируемых с весом си : I —> (0, сю) последовательностей х : 1 —и X векторов с
кормой 11=11 = ус (ми
1^(1, X) — банахово пространство ограниченных относительно веса
а : 1 —» (0, сю) последовательностей х : 1 —> X векторов с нормой ||.т|| = вир ИШ;
%(3,Х) = Р(3,Х),ее лпа=1;
1%,^, X), 1 ^ р < сю, — банахово пространство измеримых по Бохнеру функций, определенных на множестве J и суммируемых с весом а : <7 —> (0, оо) со степенью р и нормой ||ж|[ =
X) — банахово пространство существенно ограниченных относительно веса а : «7 —» (0, оо) измеримых функций

(если а = 1, то пространство Zg(Z+,X) обозначается через lp(Z+,X)).
Всюду считается, что вес а : Z+ —> (0, оо) удовлетворяет условию
а(п - 1) , .
sup —-—7—г—< ОО. (26)
п>1 а(п)
Основные результаты получены с использованием величины
х(а)= lim (sup Л". (27)
m->oo ^„^>0 а(п + ?тг) у
Отметим, что из условия (26) следует конечность величины х(сх) и предел в (27) существует ( с.м. ниже следствие 2.2.1).
Рассмотрим разностные операторы /С+ и Т>+ = I — /С+, действующие в весовых пространствах последовательностей lp + = Zg(Z+, X), р G [1,оо]. Каждое из банаховых пространств Zq+, р € [1, оо], изометрически изоморфно соответствующему "невесовому" пространству lv+ =
lp(Z+,X), р € [1,оо], а изоморфизм пространств осуществляет оператор
Ua: 1+—> 1РП)+, (Unx)(n) = а(п)х(п), п £ Z+, х £ 1Р+.
Рассмотрим подобные операторам /С+ и Т>+ операторы
U~lK,+Ua, U~lU+U0 = I — U~lK,+Ua из алгебры LB(l+). Они определяются равенствами
(UaxfC+Uax)(n) =
w(n)Bx(n — 1), п ^ 1, 0, п — 0,
(и~Жи„х)(п) = ( 1(И) “ т(п)Вх{п
ж(0), п = 0,
где ио (п) = , п ^ 1, га(0) = 1, — ограниченная последовательность
согласно условию (26). Учитывая, что эти операторы определяются с помощью последовательности га, далее они обозначаются соответственно через и Таким образом, задача о вычислении спектра