Неравенства типа Либа-Тирринга и их приложения в спектральной теории

• Автор: Барсегян, Диана Смбатовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 107 с. : ил.

Введение
Актуальность темы. В связи с исследованием вопросов спектрального анализа в 1976 году Либом и Тиррингом ([1]) была доказана следующая Теорема А. Для произвольной ортоиормированной системы Ф = {ч>з}^= С В2(/?2), IV = 1,2,... имеет место неравенство

рф2(1хс1у ^

в (1) и ниже
Рф = 22у§,

С— абсолютная постоянная, и, как обычно, V<р = (|^, |^).
Для функции / е Ь2(В2) определим преобразование Фурье:
Т{^,у) = ~ [

Тогда неравенство (1) может быть преобразовано к виду
[ рьЧЫу^СУ' I {х2--у~)ф^2с1х<1у. (2)
В дальнейшем серия неравенств типа Либа-Тирринга для ортонормпро-ванпых систем была установлена многими авторами(ем., в частности [2], [3], [4], [5],[9]).
Интерес к неравенствам типа Либа-Тирринга связан с их приложениями в теории дифференциальных уравнений с частными производными (см. подробнее [3], а также [9]). Известные методы доказательства этих неравенств, основанные на нетривиальных результатах из спектральной теории, используют информацию о поведении отрицательных собственных значений операторов типа Шрёдингера (см. например [9]). Неравенства типа Либа-Тирринга широко применяются в физике. С их помощью исследуются спектральные свойства некоторых линейных операторов тина Шредингера. Они играют значительную роль в оценках для спектра линейных операторов, возникающих в нелинейных эволюционных уравнениях.
Неравенства Либа-Тирринга применяются для оценки сверху размерности глобальных аттракторов двумерных систем уравнений Навье-Стокса.

Утверждение Теоремы А фактически равносильно следующей оценке для отрицательного спектра —= —АДУ) оператора Ьф = — Аф — Уф в Ь2(Я?) с неотрицательной функцией V £ Ь2{Я?)
где С-абсолютная постоянная.
Доказанные в настоящей работе неравенства типа Либа-Тирринга применяются для доказательств оценок снизу для спектров некоторых операторов типа Шрёдингера.
Ильиным (см. [3]) была доказана
Теорема В. Пусть Ф = {^}^1 У- N = 1,2,...— ортонор-
мированная система действительнозначных функций, заданных на единичной окружности Б1, с <Р] _1_ 1, ] = 1,..., А, А = 1,2,... Тогда имеет место неравенство
где /(1/2> = X) 1*1їк*к- производная от функции /(г) = X] !к^к Є Т2(5Х)
порядка 1, С-абсолютная постоянная, а р-нормированная мера Лебега на
В работе [2] Кашиным был предложен новый подход к доказательству неравенств типа Лнба-Тирринга, основанный на аппарате теории ортогональных рядов: неравенствах для случайных рядов и классической теореме Литтлвуда-Пэли:
1) Пусть 1 < р < оо, Ф = {-0^}^=і а Ф] Є 1 ^ у < А. Тогда
([8])

где - система Радемахера, а С(р) > 0.
2) Пусть 1<р<оои/£ А’(Д2).
Для и и /3, отличных от нуля, введём обозначение

Аі/д = {2^ 1 < ^вдпіу < 2^1} х {2^1 1 < рвдп/З < 2^}. (5)

Если v равно нулю, но р ^ 0, будем считать, что
/е<(€*+вд> dr)
МЛ = /
I IJ [—1,О]-{

г [0,l]-{2l^i -1 Также, если /3 = 0, но и ф 0 считаем
<т?здп/У <2^1}
fei(^+rn>) dn

СУ) о II [ feKSx+vy) d£ dt] + (7)
{2M-l<£ssm,<2M}.[-l,0]

{2I0I-1 /e«*+w) rffdr/
Когда г/ = j
М/)=/
j[- UP
Тогда имеют место следующие неравенства Литтлвуда-Пэли ([10])

с некоторой постоянной Сз(р) > 0, не зависящей от /.
Аналогично, пусть 1<р<оои/ = £
f(m1}... ,md)z{n .. Zj1 e V{Sd), d > 2. Для i/i,..., i/d, отличных от нуля, введём обозначение

Д,•— У ( /(пц, * • ■ i^d)
т 1 md *1 ‘ ‘ ‘ zd '
где, если |г/| > 3 :
Д„ := {2|,/|_2 < msgnv < г1"1“1}, (11)
До := {0},
Дх := {1}, Л—1 •'= {—1},
Д2 := {2}, Л_2 := {—2}
и ДИ1 • • • A„rf — декартово произведение множеств
Дщ - • • > Д ■ (12)

E (rn.ing=2.Ы+1(таж{[Ы--М> ІІДгНАІІ}}+1) E 5l2,ih(vij2) • • •

E l^w+i^w+i (^Ч1+1 ) IdT?) ^
j'[p]+i=
a>](/2 E 2=^£xAta*)l-
4 Л i’lßl=-°o jl—
< 16-;
E (та®{|М - Ij/jU, ||&| - |,A||}} + 1) E
ИІ+іі92і<|пі+|/Зі| J2=i
E D^WI-
|P3l+W3lsKI+ieil J3=l
таж{||из|-|рі||,|1Дї(-|/Зі||}<тах{||Р2|-|Рі||,||&НА|І}
N E E } іdr> )
і^рі+іі+і^і+іі^ИІ+і^іі Jfp]+1—!
max{||i/[p]+i|—[i/i([,||/3[pj+1|—l/Jilll^maxdl^j—Іь'іІЬІІ/ЗгІ—|/?i||}
^ i/i=~г*л -і. —
p’i,A=-oo ji—
E Еісюї-
ИІ+ІАІЙІріі+ІАІ Л=
E Ei^aW-
кзИ-І/ЗзІ^ИІ+І^іІ із=
”xaæ{[|i^|—lvi||,(|^3|—І/ЇіІО^тсис-ІП^лІ—І^іІІїН/Згі—|/3i||>

l,'[p]+ll+l/3(î>]+l,-',/1*+^1l i[p]+l=
”гах{ІИр1+і|-кі!І,ІІ/ЗЬ]+іІ”ІАІІ}<таа;{||і/2І-|уі||,||/02|-|/Зі||}
Ол oo jV
r e 2=ta^ttEi^A(^)i-
я Pi,A=-oo л=
E (m,aæ{|ji/2|-N|, !|AHA||}+1) E ЮзЖз)!'
W2+ß2 таж{||і/2|-|г/і||,||^2І“|/Зі ||}