Некоторые классы сингулярных операторов с нестандартными особенностями ядер и символов

• Автор: Карапетянц, Алексей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 280 с. : ил.

Цель и задачи исследования

Основные научные результаты

Основные положения, выносимые на защиту

Апробация результатов диссертации

Публикации

Структура и объем диссертации

1 ОПЕРАТОРЫ ТЕПЛИЦА В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ БЕРГМАНА. ОГРАНИЧЕННОСТЬ, КОМПАКТНОСТЬ

1.1 Постановка задач, история вопроса и предварительные сведения

1.2 Теплицевы операторы с радиальными символами в пространствах Ад (О): эллиптический случай

1.2.1 Виковский символ и спектральное разложение для оператора Теплица

1.2.2 Ограниченность и компактность операторов Теплица с радиальными символами в пространствах Д5(Ю>)
1.2.3 Идеалы Шаттена на пространстве .Ад (В)
1.3 Теплицевы операторы с символами, зависящими от у
1т г в Ад(П) : параболический случай
1.3.1 Виковский символ и некоторые интегральные представления для оператора Теплица
1.3.2 Ограниченность операторов Теплица с символами, зависящими от у = 1т г в пространствах Л (П)
1.4 Теплицевы операторы с символами, зависящими от в — а^2 в Ад(П) : гиперболический случай

•w *
1.4.1 Виковский символ и некоторые интегральные представления для оператора Теплица
1.4.2 Ограниченность операторов Теплица с символами, зависящими от 0 = arg г, в пространствах Дд(П)
1.5 Краткие выводы и комментарии к главе
ОПЕРАТОРЫ ТЕПЛИЦА В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ БЕРГМАНА. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СПЕКТРА
2.1 Постановка задач, история вопроса и предварительные сведения
2.2 Эллиптический случай
2.2.1 Непрерывные символы
2.2.2 Кусочно-непрерывные символы
2.2.3 Неограниченные символы
2.3 Параболический случай
2.3.1 Непрерывные символы
2.3.2 Кусочно-непрерывные символы
2.3.3 Осциллирующие символы
2.3.4 Неограниченные символы
2.4 Гиперболический случай
2.4.1 Непрерывные символы
2.4.2 Кусочно-непрерывные символы
2.4.3 Неограниченные символы
2.5 Краткие выводы и комментарии к главе
ОПЕРАТОРЫ ТЕПЛИЦА В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ БЕРГМАНА С ВМОд(Ю>) - СИМВОЛАМИ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕРЕЗИНА
3.1 Постановка задач, история вопроса и предварительные сведения

3.2 Описание пространства ВМОд(В)
3.2.1 Некоторые результаты для функций из ВМОд(В)
3.2.2 Характеризация функций из ВМОд(В) в терминах преобразования Березина
3.3 Пространство ВМОдг(Р): описание ВМОд(В) в терминах средних
3.4 Компактные операторы Теплица в Дд(В) с ВМОд(Р) символами и преобразование Березина
3.5 Компактные радиальные операторы в *4д(В) и преобразование Березина
3.6 Краткие выводы и комментарии к главе
СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ОДНОРОДНЫМИ РАЗРЫВАМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ. ФРЕДГОЛЬМОВОСТЬ
4.1 Постановка задач, история вопроса и предварительные сведения
4.2 Оператор Е{А) и представление двумерного преобразования Фурье
4.3 Основное представление для оператора b(Q) = Е[)~1Ь(ш)Е{) и описание "координатных"алгебр 6д = Фд(С(Т), (7(Т))
4.4 Описание алгебры фредгольмовых символов в случае кусочнонепрерывных разрывов в коэффициентах
4.4.1 Модельная алгебра = Ф(Я(Р<7(Т, А)), Я(СГ(Т)))
4.4.2 Описание алгебры % = $(РС(Ж2,£), Я((7(1)))
4.5 Описание алгебры фредгольмовых символов в случае слабо осциллирующих разрывов в коэффициентах
4.5.1 Модельная алгебра И2 = Ф(Я(50(Т, А)), Я(С(Т)))
4.5.2 Описание алгебры 77 = Ф(50(Е2, С), Я(С(Т)))
4.6 Краткие выводы и комментарии к главе

Если р = 1, то
*1 /ОС
/»I / ^
||Г«||5; < I М^|(1-г)> Ев(п+;,Л + 1) Н^
71—I)
<(А+1)/ |а(л/^)|(1 — г)-2с?г,
J О
где учтено, что

Еш^ЬтттИА+ча-г)-^, (1.22)
п=0В(п + 1,А + 1)
и, следовательно, Та^ € 5д с учетом (1.18) при у = 0.
Пусть теперь;? > 1 и условие (1.19) выполнено при у = 0. Запишем
Ъ’х(п) = В(в + Т.А'+1) I “ Г)<Л+1?> ГП) ((1 ~ ГГ!?) *
у и применим неравенство Гёльдера с учетом (1.21):
(00 р
ЁЬ«»Г
п=0
1 1 1
< С (1 - г)-(1_<т)^ * |а(/г)Р(1 - г)(А+1Г)р“(А+1)^1^г^ Р
Полагая <т = > 0, имеем
х I
КР’^сЦ
и, следовательно, £ 5д с учетом (1.19).
Случай у > 0 сводится к рассмотренному выше интегрированием по частям (как при доказательстве теоремы 1.10). □
Следующая теорема показывает, что для неотрицательных символов или для символов с неотрицательными средними В^1(г) условие ^ (1.18) является также необходимым для случая р= 1.