Представление полугрупп Ли в локально выпуклом пространстве

• Автор: Каракозов, С.Д.
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 161 c. : ил

ГЛАВА I ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§1 Полугрупш Ли и конусы в алгебрах Ли

§2 Полугруппы операторов в л.в.п.,

§3 Представления полугрупп в л.в.п

§4 Производящие операторы представлений полугрупп Ли

ГЛАВА II ПОРОЖДЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ПОЛУГРУПП Ли В ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§1 Представления алгебр Ли

§2 Теорема порождения суммируемых представлений и множества дифференцируемости

§3 Теорема порождения суммируемых представлений подугрупп ли

§4 Теорема порождения непрерывных представлений полугрупп Ли

§5 Теорема порождения представлений полугрупп Ли, допускающих координаты второго рода
§6 Теорема порождения общих представлений полугрупп ли
§7 Порождение представлений в банаховом ТТА пространстве
ГЛАВА III НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ПОЛУГРУПП Ли
§1 Линейные дифференциальные управления на полу-груше Ли
§2 Сопряженные антипредставления
§3 Сходимость последовательностей представлений
§4 Возмущение представлений
§5 Представления S L* (W в гильбертовом т ,0 пространстве
ЛИТЕРАТУРА
Предлагаемая работа посвящена изучению представлений полугрупп Ли (замкнутых подполугрупп группы Ли) в локально выпуклом пространстве (л.в.п.). Основной вопрос, который при этом решается (мы назовем его вопросом порождения представления), состоит в том, чтобы указать необходимые и достаточные условия, при выполнении которых линейные операторы, образующие представление алгебры Ли, являются производящими операторами некоторого представления полугрупп Ли.
Этот вопрос нетривиален уже для представлений аддитивной полугруппы положительных чисел. Ответ на него дается, в случае банахова пространства, хорошо известной теоремой Хилле-Иосида (см.,например, [4] ). Для локально выпуклых .пространств вопрос порождения таких представлений решен в работах [20,21,24,71,80)
Представлениям групп Ли в линейных топологических пространствах посвящена обширная литература (см., например, (1,2) и имеющуюся там библиографию). Вопрос порождения представления групдаЛи в гильбертовом пространстве был поставлен и решен в основополагающей работе Е.Нельсона [27) . При доказательстве теоремы широко использовалась техника аналитических векторов представления группы Ли, предложенная Хариш-Чандрой в работе [60].
В дальнейшем, о использованием той же самой техники аналитических векторов, в работах [ 52-54,90,92) была построена теория порождения представлений групп Ли в банаховом пространстве, которая, позднее, получила название (по именам ее создателей)
ГБ3 - теории.
Однако, в случае представления полугруппы Ли таких векторов может быть очень мало, и понятие аналитического вектора
не может быть взято за основу ни как метод, ни как язык исследования. Это же замечание остается в силе и для представления группы Ли в ненормируемом л.в.п.
Поясним сказанное на примерах.
Пусть гильбертово простарнство Н состоит из суммируемых с квадратом на (-•©/*«в)функций, равных нулю на (-<*=>■ о) . Определим представление Т аддитивной полугруппы положительных числе в пространстве Н по формуле ~1.) . Тогда для
любой финитной измеримой функции А^// и аналитического вектора
носителем, т.е. по теореме единственности аналитических функций, нулем. Отсюда ясно, что
Аналогично, что для представления Т , заданного в пространаналитических векторов состоит из одного нуля.
Заканчивая разговор об аналитических векторах, укажем работы £39,46,55,56,59,74,79.7 в которых упомянутые теоремы порождения применялись при изучении различных вопросов, касающихся бесконечномерных представлений групп Ли.
Первая работа, касающаяся представлений полугрупп Ли, принадлежит Э.Хилле [61] . В ней были получены необходимые условия теоремы порождения полугруппы в банаховом пространстве. Следующим принципиальным шагом, были работы С.Г.Крейна и А.М.Шихватова [25,26,32,33] в которых на основе аппарата резольвенты и понятия дифференцируемого вектора представления были доказаны теоремы порождения представления группы и полугруппы Ли в банаховом пространстве.
Необходимо также отметить работу Р.Т.Мура [76] , в которой теорема порождения доказывается с использованием понятий однопараметрического представления и дифференцируемого вектора,
является аналитической функцией с финитным
стве Се по формуле ( Т(Ь) {){&) = / С5 + , множество

дифференцируема, то доказательство всех утверждений однотипно -следует из соответствующих соотношений для дифференциальных операторов
Остановимся, в связи со сказанным выше, только на доказательстве пункта (I).
Если и.& Е>1 , то воспользовавшись соотношением
для леводифференциальных операторов, имеем при t & V0

4.1.8. Используя предыдущее предложение легко показать, что определение инфинитезимального оператора не зависит от выбора базиса.