Наилучшее полиномиальное приближение аналитических в круге функций в пространстве Харди

• Автор: Джурахонов, Олимджон Акмалович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 72 с.

Глава I. Наилучшее полиномиальное приближение аналитических в круге функций в пространстве Харди
§1.1. Постановка задачи приближения аналитических функций.
Вспомогательные факты и классы функций
1.1.1. Определение модули непрерывности высших порядков аналитических функций /(г) & Нр, 1 < р < оо
1.1.2. Наилучшее полиномиальное приближение аналитических в единичном круге функций в пространстве Нр, 1 < р < оо
§1.2. Наилучшее полиномиальное приближение аналитических в
единичном круге функций в пространстве Нр, 1 < р <
§1.3. Об одной экстремальной задаче для наилучшего полиномиального приближения аналитических функций

§1.4. О наилучших полиномиальных весовых приближениях
аналитических функций из Щ
Глава II. Поперечники классов функций в метрике
пространства Н2
§2.1. Наилучшее приближение некоторых классов аналитических
функций в Щ
§2.2. Точные значения поперечников классов IV, ¥а, ]У(Ф), ИфГФ)
в пространстве Нч
Литература
Теория приближения функций является одной из наиболее активно развивающихся областей математического анализа, имеющая важные приложения в прикладных областях математики. В последние годы в теории приближения интенсивно изучаются задачи наилучшего приближения аналитических в круге функций комплексными полиномами в различных банаховых пространствах.
Задачи наилучшего полиномиального приближения аналитических в круге функций получили широкое развитие в работах А.Н.Колмогорова [19], А.Хаара [38], С.Б.Стечкина [25], К.И.Бабенко [6], В.М.Тихомирова [31 — 33], Л.В.Тайкова [27 — 30], М.З.Двейрина [13 — 16], Ж.Шейка [35], А.Пинкуса [34], С.Д.Фишера [36], С.Д.Фишера и К.А.Миччелли [37], Н.Айнуллоева [1 — 4], С.Б.Вакарчука [9 — 12] и многих других математиков. Указанными работами полностью сформулирована теория наилучшего приближения аналитических в круге функций полиномами как раздел теории функций в комплексной '■ области.
Методами функционального анализа во многих вопросах найден общий подход к проблемам теории приближения аналитических функций ' полиномами, благодаря чему удалось объединить многочисленные исследования этой теории в различных банаховых функциональных пространствах. Отметим, что наиболее полно вопросы наилучшего приближения изучались в пространствах Харди Нр, р > 1. Так, задачи ; наилучшего полиномиального приближения аналитических в единичном
круге функций с ограниченным по норме пространством Нр, р > 1 производной изучались в работах К.И.Бабенко [6], В.М.Тихомирова [32 — 33], Л.В.Тайкова [27 — 30], Ж.Шейка [35], В.И.Белого [7 — 8], М.З.Двейрина [13 — 16], С.Б.Вакарчука [9 — 12], М.Ш.Шабозова [41 — 42], М.Ш.Шабозова и Г.А.Юсупова [46], М.Ш.Шабозова и Х.Х.Пирова [43,44] и др.
Вопросы, связанные с точным вычислением поперечников по 1 Колмогорову классов аналитических в круге функций, в определении
которых существенную роль играют модули непрерывности или модули гладкости в пространстве Харди, рассматривались в работах Л.В.Тайкова

[27 — 30], Л.В.Тайкова и Н.Айнуллоева [5]. Аналогичные задачи для классов функций, задаваемых модулями непрерывности т-го порядка в пространстве Харди, изучались в работах М.Ш.Шабозова [41 — 42], М.Ш.Шабозова и
О.Ш.Шабозова [45].
Диссертационная работа посвящена вычислению точных значений различных п-ноперечников классов аналитических в круге функций, у которых г-я производная удовлетворяет на границе некоторым ограничениям, связанным со скоростью убывания модуля непрерывности т-го порядка. Основной целью диссертации является:
1. Найти новые точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями и интегралами, содержащими модули непрерывности высших порядков граничных значений производных в пространстве Харди Нр, 1 < р < 2.
2. Вычислить точные значения бернштейиовских, колмогоровских, гельфандовских, линейных и проекционных и-поиеречников классов аналитических в единичном круге функций, задаваемых усредненными с положительным весом модулями-* непрерывности высших порядков производных граничных функций в Яг.
Полученные в диссертации результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть использованы при вычислении п-поперечников классов функций, в других банаховых пространствах аналитических функций, например в пространстве Бергмана с весом.
Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры математического анализа и теории функций в ТГНУ (Душанбе, 1998-2008 гг.) на семинарах по теории приближения функций (Хорог, 1999-2005 гг.), на семинарах отдела теории функций Института
математики АН Республики Таджикистан (Душанбе 2007-2009 гг.),
на международной научной конференции по "Дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами" посвященной 50-летию кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений ТГНУ (Душанбе, 25-28 октября 2003 г.), на международной конференции "Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ", посвященной 80-летию академика АН Республики Таджикистан

Если существует оператор А* С £(Я2,1/„), для которого достигается внешняя нижняя грань в (2.0.3) , то такой оператор определяет наилучший линейный метод приближения в задаче (2.0.3), то есть
#(ЯЛ)яа = 8пр{||/ - А*/||я2 : / 6 ая}.
Если же в С(Н2, Ьп) выделить класс С±(Н2, Яг) операторов А линейного проектирования на подпространство Ьп, то есть таких, что А/ = / при условии / 6 Ьп, то принято рассматривать величину
£^(Ш)Н2=£±(Ш,Ьп)Н2
= ш£{зир{||/ - А/||я2 : / 6 971} : А 6 СХ(Н2, £„)}. (2.0.4)
С величинами (2.0.1)- (2.0.4) связана задача отыскания значения п-поперечников для различных классов функций 971.
Напомним определения п-поперечников, значения которых для конкретных классов 971 вычислим в этой главе
Поперечником в смысле А.Н.Колмогорова [31] класса функций 971 в пространстве Н2 называется величина
Фг(971, Я2) = шВД971, Ьп)Н2 : 1п 6 Я2}, (2.0.5)
где нижняя грань берется по всем подпространствам заданной размерности п.
Если исходить из наилучшего линейного приближения £С(Ш, Ьп)н2, то величину
6п(.971, Н2) = Ы{£С(Ш, Ьп)Н2 : Ьп е Я2} (2.0.6)
называют линейным п-поперечником класса 971 в пространстве Я2.
Аналогичным образом, взяв за основу величину (2.0.4), вводят в рассмотрение проекционный п-поперечник
тгп(971, Я2) = Ы{£-1т, 1п)Н2 : Ьп £ Я2}. (2.0.7)
Существуют еще две величины, известные в теории аппроксимации под названиями "п-поперечник по Гельфанду" и "п-поперечник по Бернштейну".