Подпоследовательности и последовательности нулей для весовых пространств голоморфных функций и их устойчивость

• Автор: Хабибуллин, Фархат Булатович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 98 с.

Содержание
1 Введение
1.1 Основные определения, понятия и соглашения
1.2 Предшествующие результаты .;
1.3 Иллюстрации основных результатов диссертации
2 Подготовительные теоремы
2.1 Вспомогательные определения и утверждения
2.2 Подготовительные теоремы
для пространств голоморфных функций
3 Теоремы о подпоследовательностях нулей и их устойчивости
3.1 Некоторые свойства диаметра подмножества
в области на плоскости
3.2 Теорема о подпоследовательностях нулей
для пространств Нр (П)
3.3 Теорема о подпоследовательностях нулей
для пространств Яр+10е(П)
3.4 Теорема неединственности для классов Нр+$(Г2)
3.5 Теоремы устойчивости
для подпоследовательностей нулей
и последовательностей неединственности
4 Последовательности нулей голомофных функций в весовых пространствах
в единичном круге
4.1 Нерадиальная теорема о последовательностях
нулей для алгебр А и ее следствия
4.2 Нерадиальная теорема о последовательностях нулей для весовых пространств
4.3 Нерадиальная теорема о последовательностях нулей для пространств типа Нр+іое и следствие
4.4 Нерадиальная теорема об устойчивости (под)последовательностей нулей
для весовых алгебр

4.5 Нерадиальные теоремы устойчивости (под) последовательностей нулей
для весовых подпространств
Список литературы

1 Введение
Классический результат Р. Неванлинны о законченном описании множества нулей для алгебры Н°° ограниченных голоморфных функций в единичном круге ГО = {z G С: z < 1} комплексной плоскости С (см. [1], [2]) и аналогичные результаты для классов Неванлинны-Джрбашяна породили широкий круг подобных исследований для самых различных типов весовых алгебр или пространств голоморфных функций. Не претендуя даже на минимально достаточный охват библиографии по этой очень обширной и богатой результатами тематике, сошлемся здесь лишь на обзоры С. В. Шведенко [3], А. Б. Александрова [4], X. Хеденмальма [5], П. Колвела [6], монографии А. Джрбашяна и Ф.А. Шамояна [7], X. Хеденмальма, Б. Коренблюма и К. Жу [8], результаты законченного характера Ф. А. Шамояна [9], [10], существенно развившего исследования М. М. Джрбашяна, и Ч. Горовица [11] (алгебры функций умеренного «степенного» и быстрого роста), а также на работы Б. Коренблюма [12], Е. Веллера и Ч. Горовица [13], [14], К. Сейпа [16]—[17], X. Бруны и X. Массанеды [18], Д. Льюкинга [19], О. Бласко, А. Кукурики и М. Новак [20] (алгебры и пространства функций медленного «логарифмического» роста). Введения и списки литературы в этих работах могут дать представление о состоянии тематики до недавнего времени.
Наше исследование сконцентрировано на выявлении условий, при которых последовательность точек А := {А*}*6и, N — множество натуральных чисел, в области fl С С или в D является подпоследовательностью нулей или точной последовательностью нулей для некоторой ненулевой функции в П или в D из весового пространства Я голоморфных функций, выделяемого ограничением на рост этих функций вблизи границы этой области (круга) через поточечные оценки посредством системы субгармонических мажорант. Значительные продвижения для случая, когда Я — алгебра, т. е. содержит в себе произведение любых функций из Я, в исследовании подобных условий для подпоследовательностей нулей принадлежат Л.Ю. Чередниковой [21]—[23]. Изучение точных последовательностей нулей для весовых пространств в единичном круге при условии умеренного роста функций вблизи единичной окружности было проведено Е. Г. Кудашевой в [24]—[26]. Важная отличительная особенность наших исследований в том, что рассматриваются и весовые пространства Я, которые не являются алгебрами, т. е. гораздо более «жесткие», нежели у Л. Ю. Чередниковой, а О не обязательно круг или односвязная область.
Звездой подмножества А С 12 относительно семейства Т> называется подмножество
В*(Л):=и {Д€И:ЛП1)0}СЙ. (2.1.1)
Звездой точки г 6 12 относительно 2) является подмножество
и*(г):=0)*({г}) =и{Се®:геО}сП. (2.1.2)
При этом семейство I)* = {Ю*(.г): г £ !!} будем называть семейством звезд семейства Т> в П. Очевидно, семейство звезд 2)* семейства областей Т> в 12 также есть семейство областей и наследует свойство отделенное™ от заданной точки. Кроме того, легко видеть, что для подходящего семейства Т)
(a) граница дТ)+ семейства звезд 2)* имеют лебегову меру нуль;
(b) для каждого г е 12 звезда 2>+(.г) предкомпактна в 12;
(c) семейство звезд 2)* локально постоянно вне границы дЪ семейства Т>, т. е. для любой точки г € 12 дТ> найдется такая ее окрестность в 12, что звезды всех точек из этой окрестности относительно семейства Ъ совпадают.
Звездой с ядром А С Я относительно семейства Т> называем подмножество
2>*И]:=,4и©*(Л) = Ли(и {£> € Т> : А П £> ф 0})с П. (2.1.3)
Если А не пересекается ни с одним из подмножеств семейства I), то по определению (2.1.1) 22*(А) = 0, но Т)*[А] = А по определению (2.1.3).
В случае, когда в (2.1.3) множество А — одноточечное множество {г} или круг И{г, 1), введем для звезд с ядром таких множеств относительно семейства Ъ сокращенные обозначения
ВД:=Ю*[{г}] = {г}иад, ®*М):=2>*[£>(г,е)]. (2.1.4)
Пусть функция г на О удовлетворяет условию
О < г(г) < с05Ь(г:, 9П), г£0. (2.1.5)