Индекс Банаха-Сакса

• Автор: Новикова, Анна Игоревна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 80 с.

Оглавление
Введение
1 Определения и вспомогательные утверждения
1.1 Базис Шаудера, безусловный базис
1.2 Симметричные пространства
1.3 Р-выпуклость и р-вогнутость
1.4 Свойство Банаха-Сакса, с во ист во
Банаха-Сакса
1.5 Интерполяционные пространства
1.6 Подпространства Радемахера
2 Разложение слабо сходящейся к нулю последовательности.
3 Пространства с бесконечным индексом Банаха-Сакса
4 Нахождение индекса Банаха-Сакса пространств 1рд
5 Индекс Банаха-Сакса сопряженного пространства.
6 Индекс Банаха-Сакса подпространств Радемахера
7 Пример пространства, подпространство Радемахера которого не обладает свойством Банаха-Сакса
Список литературы.

Введение
Актуальность работы. Понятие индекса Банаха-Сакса играет большую роль в исследовании геометрии банаховых пространств. Изучение свойства Банаха-Сакса восходит к работе Банаха и Сакса 1930 г. [34]. Их классическая теорема утверждает, что любая слабо сходящаяся к нулю последовательность хп Е Ьр( 1 < р < оо) содержит подпоследовательность {хПк} С {ж„} такую, что

\^2хпк\ьР<Стт^ к=
для любого т£Н, т.е. показывает справедливость тш(р, 2)-свойства Банаха-Сакса этих пространств. Соответствующий результат для случая 2 < р < со также следует из работы М.И.Кадеца и А.Пельчинского [48]. Далее С.Какутани показал, что любое равномерно выпуклое банахово пространство обладает свойством Банаха-Сакса [49],а В.Шленк [71] доказал, что пространство 1п[0,1], не являющееся равномерно выпуклым, также обладает свойством Банаха-Сакса.
В ряде работ Е.М.Семенова, С.В.Асташкина, Ф.А.Сукочева, С.А.Ракова были найдены индексы Банаха-Сакса некоторых функциональных пространств Лоренца, Марцинкевича, Орлича [25, 22, 30]. Были доказаны общие теоремы, позволяющие вычислять индекс Банаха-Сакса функциональных пространств в терминах индексов Бойда [32], а также показано, что для пространств Орлича и Лоренца свойство Банаха-Сакса тесно связано с сепарабельностью пространств, однако сепарабельная часть некоторых пространств Марцинкевича не обла-

дает этим свойством [43].
В диссертации изучается индекс Банаха-Сакса пространств последовательностей с симметричным базисом. Главное отличие индексов Банаха-Сакса функциональных пространств и пространств последовательностей заключается в том, что для пространств последовательностей отсутствует естественное для функциональных пространств ограничение на индекс сверху - индекс Банаха-Сакса не превосходит 2 [32]. Кроме того, есть ряд различий для пространств, определенных на конечном и бесконечном промежутках. В работе рассматриваются пространства с бесконечным индексом, вычисляется индекс пространств 1рл, а также представлен пример рефлексивного пространства последовательностей с симметричным базисом, не обладающего свойством Банаха-Сакса.
Впервые функции Радемахера были введены в работе Х.Радемахера [62]. Особенно большое значение уделялось изучению поведения сумм

]Г) г/;[х] при п —>• сю в связи с законом больших чисел Бореля и его *=
уточнений. Система Радемахера порождает в перестановочно-инвариантных пространствах подпространства с симметричным базисом. Исследованию свойств системы Радемахера в общих симметричных пространствах посвящены многочисленные работы, например, Родина В.А., Семенова Е.М. [64, 24], Бравермана М.Ш. [5] и Рейпо И. [63]. Глава 6 диссертации изучению индекса Банаха-Сакса подпространств Радемахера симметричных пространств.
В настоящее время вариации классического свойства Банаха-Сакса активно изучаются в связи с различными вопросами теории интерполяции (см., например, [46, 51, 66]).
Целью работы является изучение р-свойства Банаха-Сакса симметричных функциональных и секвенциальных пространств.
Методика исследований. Использовались идеи и методы совре-

следующим образом:
/ 2-Х*(П-»), пеПДК),
+гЫ = <1 п
( 0, для остальных п.
Заметим, что \гг^\ < 2~г. Введем последовательность

Zi — ^ 2 £ N.

Эта последовательность ограничена в Е :
ОС ОО
|Ы|в < ^ 1Кг||Е < У^2~Г = Д
Г=1 7=
и сходится слабо к нулю:

г—>оо
£ г^п)и(п)

< lim £ £ zr,i(n)u(n)+
г-Чх> r=1 ngN
00 ОО
+ Hm £ £ Ki(n)u(n)| < lim £ |12щ|ЫМ|б' <
г“*°° r=m+l t?6N г-^°° r=m+l

< £ 2-r • 1МЦ, < 2-m+1||tt||^, Vm £ N, и £ E
Г=771+
it; Ш
т.е. —>• 0. Здесь lim £ £ zr,i(n)u(n) — 0 в силу слабой сходи-
г->оо
мости к нулю последовательности {zrj}i при г —> оо и для любого фиксированного г £ N. Действительно,
Ek«(n)«WI= Е 2-гжХ(ПД1(тг))|гл(гг)| <
n neIIr(N)
< Е2Гг,г(Г1)1и(Пг(^))| “> 0, i —У ОО,

так как жГ)г сходится к нулю слабо.
Пусть теперь {щ}г произвольная подпоследовательность {.г+. Используя оценку (2.1), для любого г £ N и любой подпоследовательности {уг,г} с {жг,г} МЫ получим
limsupfc х!р
fc-7-OO

> limsup/e |//р
£; /г->оо

Е Е “г,г
г=1 г=

>2 rlimsupA: 1/<р

Е У?-,!

> 2_Г ■ 23г = 22г, Г £ N.