О проекторах на пространства типа конечных элементов и их приложениях

• Автор: Добробог, Надежда Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 117 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Адаптационные алгоритмы решения операторных уравнений
1.1 Об операторах проектирования, зависящих от параметра .
1.2 Сходимость алгоритмов адаптации для операторных уравнений
1.2.1 Постановка задачи
1.2.2 Общая формулировка алгоритма адаптации. Теорема сходимости
2 Галёркинскис проекторы и сходимость алгоритмов адаптации для сингулярно возмущенных задач в случае симметричного оператора
2.1 Постановка задачи
2.2 Формулировка основных результатов
2.2.1 Численный метод решения задачи
2.2.2 Алгоритм адаптации сеток в случае неизвестной границы пограничного слоя
2.3 Галёркинский проектор
2.4 Построение биортогональных функционалов
2.4.1 Построение локальных функционалов на отрезке [-а.а]
2.4.2 Построение локальных функционалов в пограничных слоях
2.4.3 Продолжение локальных функционалов на [—1,1] .

2.4.4 Обеспечение выполнения условия биортогональности
2.5 Доказательства и вспомогательные результаты
2.5.1 Квазиоптимальность галёркинского проектора
2.5.2 Обоснование сходимости алгоритма I адаптации сетки параграфа 2.2.
2.5.3 Доказательства вспомогательных результатов
2.6 Результаты численного эксперимента
3 Галёркинские проекторы и сходимость алгоритмов адаптации для сингулярно возмущенных задач в случае несимметричного оператора
3.1 Постановка задачи
3.2 Формулировка основных результатов
3.2.1 Численный метод решения задачи
3.2.2 Алгоритм адаптации сеток в случае неизвестной границы пограничного слоя
3.3 Галёркинский проектор
3.3.1 Некоторые свойства галёркинских проекторов
3.4 Доказательства и вспомогательные результаты
3.4.1 Некоторые свойства решения и функции Грина
3.4.2 Построение биортогонального базиса. Доказательство квазиоптимальности метода Галёркина
3.4.3 Обоснование сходимости алгоритма адаптации I параграфа 3.2.
3.5 Результаты численного эксперимента
Заключение
Список литературы

Некоторые обозначения и сокращения, принятые в
диссертационной работе:
N - множество натуральных чисел К - множество вещественных чисел supp - носитель функции є - малый положительный параметр
С, С, С2, ... - положительные постоянные, не зависящие от є и расчетной сетки
СЛАУ - система линейных алгебраических уравнений л.н.п. - линейное нормированное пространство м.к.э. - метод конечных элементов
5(Д, 1,1) - пространство линейных сплайнов дефекта 1, определенных на разбиении Д расчетной области [;z] - целая часть вещественного числа 2 (■ • • )т - операция транспонирования
f{x) = 0(д(х)) - означает выполнение условия |/(ж)[ < Сд(х)
f[x) = 0*(д{х)) - означает выполнение условия Cif(x) < |д(л)| <
С2№
< и, ф > — обозначает действие линейного функционала ф на л.н.п X: Фі'и) —< и, ф >
(,) - скалярное произведение в .^[а, Ь].
||Л|І2 - спектральная норма квадратной матрицы А, ЦЛЦ2 = /ГКпаЛА^)
ЦАЦоо - норма матрицы, согласованная с Ц.Цоо - нормой вектора, к
ЦАЦоо = max X] aij
1 j=i
ІИІІ! - норма матрицы, согласованная с ^—нормой вектора, к
\Ah = max |о*,-|

||.|| - норма в С[а, 6]

[£—ш> ^т]-
Из выполнения условия биортогональности (2.8) получаем:

7* Мл) = й-и> -т - 1 < ^' < т - 1. (2.9)
к=—т—
Совокупность равенств (2.9) представляет собой СЛАУ относительно неизвестных 7_от_1, 7-ш, • • •, 7т-1- Матрица этой системы есть матрица Грама А = относительно скалярного произведения
< и, V >= СДн, у).
Систему (2.9) перепишем в векторно-матричной форме
А'у = Ь,
здесь 7 (7—ш— 1? 'У—тч • ■ • 5 Ут — I ) , ^ (р—тп— 1з тз ■ ■ • 7^777 — 1) з Л
{«Л7-1-»
Очевидно, что матрица Л трёхдиагональная, т. е. а5/ = 0 при |з—/| > 1, а вектор Ь имеет ТОЛЬКО одну, отличную ОТ нуля, компоненту 1 = 1.
Лемма 4. Найдется такая константа С > 0, не зависящая от г, т. что при ет < 1 матрица А обратима, и справедливы оценки
\А~% < С1т. (2.10)
Доказательство этой и последующих леммы будут даны ниже в параграфе Доказательства вспомогательных результатов.
Замечание 3. Нормировкой базисных функций па единицу в Ьъ[—1,1] мы можем заменить оценку (2.10) на оценку
\А~%<С2. (2.11)
Лемма 5. Для нормированных на единицу в Ьо[— 1,1] функций Л^Д£) справедливы оценки:
тйг,иЙи)<С3. (2.12)