Инвариантные подпространства в пространствах числовых последовательностей

• Автор: Шагапов, Илдар Ахняфович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 91 с.

Содержание
Введение
1 Идеалы в пространствах периодических целых функций
1.1 Пространство Р
1.2 Построение целых периодических функций по заданным
значениям в заданных точках
1.2.1 Множества Л и П
1.2.2 Построение целых периодических функций по заданному нулевому множеству
1.2.3 Построение целых периодических функций по заданным значениям в заданных точках
1.3 Описание замкнутых идеалов в Р
2 Пространства числовых последовательностей
2.1 Пространства А, А+, А~
2.2 Пространство А*
2.3 Изоморфизм между А~~ и Р
3 Инвариантные подпространства в пространствах числовых последовательностей
3.1 Постановка задачи
3.2 Двойственность

3.3 Однородные уравнения свертки
3.4 Описание инвариантных подпространств в А
3.5 Базис в инвариантных подпространствах
Библиография

Введение
Диссертация посвящена описанию подпространств инвариантных относительно сдвигов в весовых пространствах двухсторонних числовых последовательностей комплексных чисел, а также вопросам описания замкнутых идеалов и интерполяции в алгебрах целых периодических функций.
Задача описания подпространств аналитических функций, инвариантных относительно оператора дифференцирования, впервые была поставлена в 1947 году JI. Шварцем в его известной работе о периодических в среднем функциях (см. [40]) : пусть G -открытое множество в комплексной плоскости; Н - пространство функций, голоморфных в G , с топологией равномерной сходимости на компактах <3'; верно ли, что каждое замкнутое инвариантное подпространство W С Н допускает спектральный синтез, т. е. совпадает с замыканием линейной оболочки экспоненциальных одночленов, в нем содержащихся. Сам JI. Шварц рассмотрел в этой работе случай G = С и показал, что каждое инвариантное подпространство допускает спектральный синтез.
Задачей описания инвариантных подпространств в других пространствах аналитических функций занимались: JL Эренпрайс (пространство целых функций в Сп, п > 1) [37], И.Ф. Красичков-Терновский (H(D) - пространство голоморфных в D функций, где D -выпуклая область) [11] - [13], Леонтьев А.Ф. [18], Напалков В. В. [26] и другие математики.
При исследовании инвариантных подпрострванств аналитических

Порядок функции равен q = т + 1, а тип зависит только от А, где А - верхняя плотность последовательности {Im(zk)}.
Теперь рассмотрим случай г = 0 (по-прежнему К = оо).
Теорема 1" По любой последовательности комплексных чисел Л = {Хк}, к = 1,2,А0 = 0, 0 < Re{Afc) < 2тг, 0 < |Ai| < |Л2| < lim |Ajfe| = оо, с показателем сходимости т = 0 и верхней плот-
к—>оо
ностъю А, можно построить целую периодическую функцию, обращающуюся в нуль только на А по формуле:
r(-h(A TT h(Xk ~ £1 п h(z~П h(Xk ~
G[z) h[z) . ]ф
lm(k)=0 /4AC lm( Afc)<0 /Ч_ЛС Im{Xk)> 0 /ЧЛС
где h(z) = 1 — exp(iz). Порядок этой функции равен q — г + 1. Tun при порядке 1 всегда будет равен бесконечности, независимо от А.
Доказательство То, что функция С?(я) является целой функцией порядка 5 = 1 следует из построения (см. доказательство теоремы 1).
Из предложения 1 следует, что экспоненциальный тип может иметь только целая периодическая функция с конечным числом нулей в полосе П. Как видно из условия, в нашем случае нулей ( в полосе П) бесконечно. Значит, G(z) при порядке 1 имеет тип равный бесконечности, причем независимо от А. Теорема доказана.
Пример 1 Пусть Л = {0,7г}. Очевидно, т = 0. Следовательно, по лемме 1 5 = 1. Построим для этого множества функцию G(z). Имеем
1 f - z) (Л ( Л>(1 - ежр(г(7т - г)))
G(z) - h(z) — = 1 - exp{zz))
пук) 1 - expyiк)

= —(l — exp(iz))(l + exp(—iz)) = ~{l — exp(iz) + exp(-~iz) — l) = —isin(z).
Пример 2 Пусть Л = {ik}, k — 0, ±1, ±2