Гармонический анализ некоторых классов линейных операторов

• Автор: Синтяева, Ксения Андреевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 86 с.

Оглавление

Список обозначений

Введение

1 Банаховы Ь (М)-модули и неравенства Бора-Фавара для

операторов

§1.1 Банаховы Хч(И)-модули

§1.2 Спектр Берлинга

§1.3 Неравенства Бора-Фавара для операторов

§1.4 Некоторые приложения

§1.5 Приложения к теории возмущений линейных операторов

2 Спектральный анализ почти периодических векторов

§2.1 Почти периодические векторы и их ряды Фурье
§2.2 Спектр Бора
§2.3 Сходимость рядов Фурье почти периодических векторов с
разреженнным спектром
Литература

Список обозначений
N - множество натуральных чисел;
Z - множество целых чисел;
Ж - множество вещественных чисел;
С - множество комплексных чисел;
Т = {z € С : z = 1} - единичная окружность;
М+ = [0, оо];
I - один из промежутков [о, b], Ж, (—оо, о], [Ь, оо);
X, Y - комплексные банаховы пространства;
X х Y - декартово произведение двух банаховых пространств с нормой ||(ж,г/)|| = (||я|& + \у$)1/2,х Є Х,у Є У;
Сі — Сь(Л, X) - банахово пространство непрерывных и ограниченных на промежутке! Є {[а, Ь], (—оо, а], [Ъ, оо)};
Sp = SP(R,X), р Є [1,оо) - пространство Степанова локально суммируемых на Ж функций со значениями в X с нормой ||t||sp
sup(/||x(s + t)\pds)llp] Lp = LP(J,X), p 6 [l,oo] - банахово npo-feR
странство суммируемых на JT со степенью р Є [1, оо) и со значениями в X функций;
Z/qq = Loo(S,X), - банахово пространство существенно ограниченных функций с нормой ЦжЦоо = vrai sup ||x(t)||;
I - тождественный оператор в любом из рассматриваемых банаховых пространств;
д(А) - резольвентное множество оператора А; а(А) - спектр оператора А;
R(-,A) : д(А) —> EndX, R(X, А) = (Л/ — Л)-1, Л Є д(А), - резольвента

линейного оператора А : В (А) С X —» X;
$ = (Е, X) - одно из пространств Рр(Е, X), Loo(R, X), (7й(Е,Х), С0(Ш,Х), SP(R,X)
Li(E) - банахова алгебра всех суммируемых наЕ комплексных функций
со свёрткой (/ * g)(t) = f f(t — s)g(s)ds,t € Е, f,g G 1ч(Е) функций в

качестве умножения и с нормой \f\i = f f(t)dt, / G Pi(R);

S(t),t G E - изометрическая группа операторов сдвигов функций S : Е —> EndCb вида (S(t)x)(s) = x(s + £),s,£ G K,i G Cj; f- преобразование Фурье функции / G -i(E);
A(x) - спектр Бёрлинга вектора x G X;
supp x — {t G К : x(t) ф 0} - носитель функции x : E —> C;
X(cr) = {x G X : Л(ж) С er} - спектральный подмодуль, где а - замкнутое подмножество из Е;
З'(Е) - однородное пространство измеримых на Е локально суммируемых комплексных функций;
Нот(Хь-Хг) - банахово пространство линейных ограниченных операторов, определенных па Xi и со значениями в Х,
Хс = {х G X : функция t T(t)x : Е —> X - непрерывна };
АРХ - подмодуль почти периодических векторов по Бохнеру из Li (R)-модуля Хс;
АРЗ"(Е) - подпространство почти периодических функций из S'(E) (почти-периодических по определению 2.5, гдеТ = S);
АРСь — АР(Е) - подпространство непрерывных почти периодических функций Бора;
АР#(Е) = АР5р(М) - пространство Степанова почти периодических функций;
Доказательство. Из свойства 2 леммы 1.6 следует, что Х(а) является инвариантным для оператора T(t), £ G К, и, следовательно, относительно оператора А. Поэтому Х(а) - подмодуль из X.
Докажем его замкнутость. Для этого рассмотрим произвольную сходящуюся последовательность (хп) € Х(а). Пусть lim хп = xq и Ао €сг.
п—>оо
Рассмотрим функцию / Е LДМ) такую, что /(Ао) Ф 0 и (suppf) f) сг = 0, из свойства 4 леммы 1.6 получаем, что /хо = lim /т„ = 0. Значит,
71—»ОО
Ао£А(т), поэтому Л(то) С а, следовательно, хо Е Х(а). Итак, Х(сг) замкнут. Лемма доказана.
Лемма 1.8. [6J Пусть (Х,Т) - ЬфШ-модулъ. Следующие условия эквивалентны:
1. А0 Е А{х) С Ж;
2. Х(ао) Ф {0} для любой окрестности ао точки Ао;
3. существует такая нормированная последовательность (т.е. 1Ы1 = 1 (т„) С X, что lim \fxn - /(А0)а;„|| = 0 V/ € ДДЖ);
п—»00
4- существует такая нормированная последовательность (хп) С X, что lim ||T(t)xn — elXotxn\ = 0 Vt £ Ж;
п—»СО
5. |/(Ао)| < ||Т(/)11 У/€Д(Ж).
Лемма 1.9. Для любого замкнутого множества Д из Ж имеют место включения а(АХ(Д)) С Д С сг(А), где А|АДД) - суэюение оператора А на Х(А), и равенство cr(T(f)) = f(A(X)) — {/(А), А Е сг(А)}.
Из свойства 4 леммы 1.6 следует, что каждый из операторовТ(/о) = fo(A), где /о G АДЖ), совпадает с операторами Т(/)> где / Е АДМ) такова, что / = /о в некоторой окрестности множества а (А). Следовательно,