Аналитические свойства решений некоторых классических и некоммутативных интегрируемых систем

• Автор: Комлов, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 75 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Некоммутативная грассманова С/(1) сигма-модель
1.1 Основные понятия и определения
1.2 Описание решений ранга 1
1.3 Устойчивость диагональных решений
1.4 Бесконечномерные ВРв-решення
1.4.1 Построение класса бесконечномерных ВРЯ-решений
1.4.2 Пример БРЭ-решения с бесконечной энергией
1.5 Открытые вопросы и комментарии
Глава 2. Локальная голоморфная задача Коши для интегрируемых эволюционных уравнений
2.1 Верхние оценки классов Жеврея полиномиальных 2 х
потенциалов
2.2 Нижние оценки классов Жеврея мономиальных 2x
потенциалов и приложения
2.3 Условия пикаровости 2 х 2-потенциалов
2.4 Необходимое условие пикаровости симметрических 2x
потенциалов
Список литературы

Введение
Решения интегрируемых систем, возникающих в современной математической физике, обладают рядом специфических аналитических свойств, которые пока еще мало изучены. Под аналитическими свойствами в главе 1 понимаются принадлежность области определения функционала энергии, конечность энергии, устойчивость решений; в главе 2 — ограничения на порядки полюсов и коэффициенты Лорана решений. Цель дайной работы — изучение этих аналитических свойств и, когда это возможно, описание самих решений.
В главе 1 рассматривается грассманова некоммутативная С/(1) сигма-модель, являющаяся простейшим случаем некоммутативной грассмановой 11 (га) сигма-модели — некоммутативного аналога классической вещественнодвумерной грассмановой сигма-модели. Сначала кратко опишем классическую модель. Обозначим через СгЦС") комплексный грассманиан (то есть многообразие /с-мерных комплексных подпространств в С”). Мы будем отождествлять его точки с ортогональными проекторами в С" с ^-мерным образом (и (те — &)-мерным ядром). Рассмотрим произвольное отображение / : СР1 —* ПгЦС77) (иначе говоря, при каждом л есть матрица /с-мерного ортогонального проектора в С"). Энергия отображения / задается функционалом
Е(1) := ^ У(13*/!2 + ду/2)(1хЛу = [ д~/2с1хс1уу с с
где г — х + {у, д= = (дх + гду)/2 - производная по г, а А2 = Ьг(А*А) — квадрат нормы Гильберта-Шмидта произвольной матрицы А. Экстремали

данного функционала (решения модели) называются гармоническими отображениями. (Подробнее об этой модели см. [26].)
В теории струн возникает некоммутативный аналог приведенной выше модели, который рассматривался также в [7], [8], [17], [22]. Он получается из классической модели переходом на некоммутативную плоскость 0 > 0. Переход основан на правилах исчисления Вейля псевдодифференциальных операторов (см. [14], глава XVIII) и приводит к следующей картине. Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство, а и а* — стандартные операторы уничтожения и рождения в Н. (Точные определения операторов а и а* даны в разделе 1.1.) В некоммутативной грассмановой £7 (гг) сигма-модели вместо отображений /(■) : СР1 —» С?7~*.(С") рассматриваются ортогональные проекторы Р на гильбертовом пространстве С- Нп. Производная д=(-) заменяется на ~^ц[1 <8> о, •], производная <Эг(-) — на — ® а*> ']> а интеграл
по комплексной плоскости С — на 2вТгц, где Тг# — след оператора по пространству Н. Поэтому функционалу !?(/) соответствует функционал
£(Р) = ||[/®а,Р]||^,
где И-ЗНяз == Ггя"(*5**5) — квадрат нормы Гильберта-Шмидта оператора 8 (здесь ТУ#» — это след по всему пространству Нп). Экстремали этого функционала (реитения грассмановой £7(п) снгма-моделн) являются некоммутативными аналогами гармонических отображений из СР1 в Сгк{Сп).
' В диссертации изучается только некоммутативная грассманова £7(1) сигма-модель. Эта модель представляет интерес, несмотря на то, что ее коммутативный аналог тривиален (так как в С существует всего два проектора — тождественный оператор и нулевой оператор). Она является простейшей из некоммутативных грассмановых £7(п) сигма-моделей и, помимо этого, выделяется из общего ряда тем, что в £7(1) сигма-модели определяющий ее оператор / ® а, совпадающий с а, неприводим. Полное определение некоммутативной грассмановой £7(1) сигма-модели и ее простейшие свойства приведены в
Теорема 3 Проектор Рф для произвольного экспоненциального полинома ф(г) допустим.
Замечание 3 Проектор Рф (для экспоненциального полинома ф(с)) есть проектор на ядро (неограниченного) оператора ф(а) — ф(^). (В соответствии с формулой Тейлора для любого Л Є С оператор еЛл действует как сдвиг: еЛзг/(г) = /(г + Л) для функций ф(г) Є Тх, для которых /(г + А) Є ,Рг.) Чтобы это пояснить, напомним, что ядро оператора Рф есть образ оператора умножения на ф(г) (см. формулу (1.12)). Значит, образ Рф есть ядро оператора, сопряженного к оператору умножения на ф(г). Последний же и является
оператором ф(—) (формально это очевидно, а строго доказано в [23]). иг
1.4.2 Пример ВРЯ-решения с бесконечной энергией
Покажем, ЧТО проектор Рьштг2 имеет бесконечную энергию. Напомним, что
ішРяік = Щэап{{епг}„е;г) = Щюп({сп}пе2),
кет РйіП7Г; = {/(г) Є Г._ : -Щ- є О(С)}.
8Ш ттг
Итак, чтобы доказать, что Е(Р5іпігг) = оо, мы предъявим две ортонорми-рованные системы: в его образе и {/п}^о в ядре такие, что
Vп = 0,1,... |(а/„, дп) ^ С > 0, где С — константа.
Покажем, ЧТО ИЗ ЭТОГО следует бесконечность энергии проектора Рзттгг- Так как Ш“о ~ ортонормированная система в кег РщПЯ-5 (не обязательно базис), то

Е'(Рзттгг) ^ ^ -^8т7гг]/п? 7Г.г]/п) =

7г,г а1п