Некоторые вопросы единственности разложения фунуций в ряды по мультипликативным системам и системам типа Хаара

• Автор: Бокаев, Нуржан Адилханович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 109 c. : ил

ГЛАВА I. Дифференцирование относительно сетей и единственность рядов по периодическим мультипликативным системам и системам типа Хаара §1. Определения и некоторые свойства периодических мультипликативных ортонормированиях систем ^р|рД и систем
типа Хаара
§2. Понятие дифференцирования относительно сетей Qh. Признак монотонности функции в терминах Q -производной. 20 §3. Восстановление коэффициентов рядов по системам типа Хаара, сходящихся к функциям, интегрируемым в смысле Перрона.29 §4. Восстановление коэффициентов сходящихся рядов по мультипликативнда системам
ШАВА II. Некоторые теоремы единственности для рядов по мультипликативным системам {рД*

§1. О формальном произведении для рядов по системам

§2. Достаточные условия для И-множеств. Пример континуального замкнутого И -множества для системы
§3 Jit-множества нулевой (г-меры для системы 'flp^- 38 §4. О сумме замкнутых [[-множеств для системы

§5. Аналог одной теоремы Привалова для систем

§6. Теорема единственности для некоторого метода суммирования77 ГЛАВА III. О множествах относительной единственности для рядов го по мультипликативным системам

§1. -множества для систем

§2. Об К-мере дополнения ИІ0-^ЛН(ЖЄСТва

§3. (х[р) -множества для системы
ЛИТЕРАТУРА

Вопросы единственности разложения функций в ряды по ортого-[альным системам представляв® собой важную часть теории ортогонапь-[ых рядов. Возникновение этой проблематики связано с классической 'еорией единственности тригонометрических рядов, развитой в рабо-’ах Г.Кантора, А.Лебега, Ш.Валле-Пуссена, АДанжуа, Д.Е.Меньшова, ЕК.Бари, А.Райхмана и др. (см. [5] , [14] )
В последние десятилетия активно разрабатывается теория единственности для рядов по системам Хаара и Уолша. (В.А.Скворцов,
1.А.Талалян, Ф. Г. Арутюнян, А.А.Шапиро, В.Вейд, Г.М.Мушегян, Г.Пэворкян и др.)
Интенсивное изучение рядов по системам Хаара и Уолша обуслов-юно возросшим использованием этих систем в прикладных вопросах (в теории кодирования, в цифровой обработке сигналов, в распозно-зании образов) (см. [з4 ) и в решении збзщч общей теории ортогональных рядов (см. [32] , [ЗЗ]). Обзор основных результатов по системам .Саара и Уолша можно найти в [ш] и [4]
В последнее время в том же круге прикладных вопросов наряду с системой Уолша стали использоваться более общие мультипликативные системы ( такие как система Крестенсона-Леви, системы Прайса, системы Виленкина-Дкафарли) (см.[j] , [Г/] ) Эти системы представляют большой интерес с точки зрения гармонического анализа, являясь системами характеров соответствующих компактных групп .Много основополагающих результатов по мультипликативным системам (в частности по вопросам приближения функций полиномами по этим системам ) получею в работах A.B.Ефимова,С.Ватари, А.И.Рубинштейна,С.Л.Елюмина и др.
Представляет также интерес впервые рассмотренный Н.Я.Виленкиным (см.[Г?]) класс ортогональных систем типа Хаара, содержащий в себе классическую систему Хаара[39], 40 и связанный с соответствую-
[им классом мультипликативных систем (см.так же [її], [12], jöfj).
Настоящая диссертания посвящена исследованию вопросов единс-'венности разложения фунісций в ряды по мулътипликативнш ортонор-мированным системам Прайса и системам типа Хаара.Также рассматриваются вопросы восстановления коэффициентов сходящихся рядов по указанным системам.
Первые результаты по теории единственности разложения функций по системе Уолша были получены в 1947 году Н.Я.Виленкиным D?], в 1949 году A.A.Шнейдером [35], Н.Файном[Зб]а по системе Хаара -в 1964 году В. А. Скворцовый [_24] , Ф.Г.Арутюняном и A.A.Талаляном [з], М.Б.Петровской [21]
Вопросы единственности разложения функций по мультипликативным системам рассматривались Н.Я.Виленкиным[7] , А.М.Зубакиным и И.И.Тузиковой [іб] , В. А.Скворцовым [25^ а по системам типа Хаара -Н.Я.Виленкиным [7] , Г.М.Мушегяном [19]
Настоящая работа состоит из трех глав. Нумерация теорем и формул трехзначная: первое число означает номер главы, второе-номер параграфа, третье - собственный номер теорем и формул внутри параграфа.
Первая глава диссертации посвящена вопросу восстановления коэффициентов рядов по мультипликативным системам Прайса и системам типа Хаара, сходящихся к конечной, интегрируемой в смысле Перрона функции. Для систем Уолша и Хаара в этом направлении ранее были получены следующие результаты.
Ф.Г.Арутюнян и А.А.Талалян [з] в 1964 году доказали, что если подпоследовательность частичных сумм с номерами d ряда по системе Уолша с коэффициентами, стремящимися к нулю, сходится всюду, кроме счетного множества, к суммируемой функции, то этот ряд есть ряд Фурье-Лебега своей суммы. В [3] ими же было установлено,

что, если у ряда у (-Ь) п0 системе Хаара некоторая подпосле-

Определение 2.1,1. Пусть дан ряд по системе :
2- ВДк(х) (2.1.2)
К-о
и полином по системе МЧА,} :
^х) = 2 (2.1.3)
Тогда ряд

£г0 аг- % (х), где агу= 2 ^ л ги (2.1.4)
назовем формальным произведением ряда (2.1.2) на полином (2.1.3). Справедлива
Лемма 2.1.2. Пусть ряд (2.1.4) - формальное произведение ряда
(2.1.2) на полином(2.1.3). Тогда, начиная с некоторого номера Лі
имеет место равенство
ГПу -1 |ту ~і~
У~ = ак%(эс) , (2.1.5)
К-О
Кроме того, если ^Стак-(] , то ЛСтак'0 и ряды
К.-9оа Я^оо
оо оЧ
Л— 0-к,'Т|ССх] 1І (зс) 2 К=о к=о
будут равномерно равносходящимися на С0 і]
Доказательство. Число Л1 выберем так, чтобы для всех
К4К0 имело место неравенство —п ^ тм - Теперь покажем,

ггЧч~ 1 Лтм
2Л (2.1.6)
К-0 К
ДЛЯ ВСЯКОГО целого С[У/І
Действительно, когда (С принимает значения (^...^Т^-Ц
т0 c-n- к:4- (— к) может принимать лишь значения, не пре-