Факторпредставления типа II1 групп матриц с элементами из поля конечной характеристики

• Автор: Кохась, Константин Петрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 89 с. : ил.

Локально полупростые алгебры
Дискретные нилъпотентные группы
Оператор Лапласа на дискретной группе Гейзенберга
Структура диссертации
1. Вычисления группы Гротендика алгебры С(Р5Л(2,к)),
где к — счетное алгебраически замкнутое поле
1.1. Сведения об ЛП-алгебрах
1.2. Основные определения и обозначения. Формулировка теоремы
1.3. Сведения о представлениях группы Г. Теорема ветвления и следы
1.4. Описание группы б. Доказательство теоремы
2. Классификация конечных факторпредставлений группы Гейзенберга
над счетным полем конечной характеристики
2.1. Представления конечных групп Гейзенберга Ня
2.2. Диаграмма Браттели, двусторонние идеалы алгебры С(Я)
2.3. Факторпредставления
2.4. Разложение регулярного представления
2.5. Группа Гротендика К0(С(Н))
2.6. Факторпредставления (2т + 1)-мерной группы Гейзенберга
3. Орбиты
3.1. Метод орбит для конечных нильпотентных групп ступени 2
3.2. Орбиты и факторпредставления
3.3. Приложения к группам Гейзенберга и другим группам
3.3.1. “Классическая” теория орбит для группы Гейзенберга
3.3.2. Теория орбит группы Гейзенберга над счетным полем
3.3.3. Нильпотентные группы ступени

3.4. Крайние точки множества положительно определенных функций
4. Спектральные оценки оператора Лапласа
дискретной группы Гейзенберга
4.1. Оператор Лапласа в конечномерных представлениях
группы Гейзенберга Нп
4.2. Оценка максимального собственного числа оператора Ап в представлении Тч
4.3. Комбинаторная реализация характеристического полинома
4.4. Оценка спектральной меры для бесконечной группы Гейзенберга
Литература

Локально полупростые алгебры
Важным классом счетных дискретных групп являются локально-конечные группы, т. е. индуктивные пределы последовательностей конечных групп. Групповая алгебра локально-конечной группы есть предел конечномерных полупростых алгебр; алгебры, характеризующиеся этим свойством (точнее, их С*-оболочки), называются локально полупростыми или, сокращенно, ЛП-алгебрами. Теория ЛП-алгебр разработана в работах Браттели [23], Эллиотта [26], Эффроса и др. в 70-е-80-е гг. прошлого века. Напомним основные методы, используемые в этой теории.
Пусть А = — ЛП-алгебра. Структура ЛП-алгебры А задается диаграммой Браттели — бесконечным градуированным графом, т. е. локально конечным графом без висячих вершин, в котором множество вершин разбито на конечные подмножества (“этажи”), пронумерованные натуральными числами, а ребра (допустимы кратные ребра) могут быть проведены только между вершинами, лежащими на соседних этажах, причем из каждой вершины выходит хотя бы одно ребро к вершине, лежащей на предыдущем этаже. Этажи диаграммы Браттели соответствуют конечномерным алгебрам Ап. Вершины одного этажа графа нумеруются простыми идеалами алгебры Ап, а ребра, идущие с к-го этажа на (к + 1)-й, описывают вложения Л/с с Ак+. кратность ребра, соединяющего вершины уп и уп+, равна количеству компонент вида уп содержащихся в сужении Л„+1-модуля уп+ на Ап.
Замкнутые двусторонние идеалы и группа Гротендика Ко(А) ЛП-алгебры А могут быть описаны комбинаторно на языке диаграмм Браттели. Например (см. [23]), существует биекция между множеством примитивных идеалов ЛП-алгебры и множеством насыщенных идеалов ее диаграммы Браттели (мы приводим необходимые определения в главе 1). Описание следов и представлений ЛП-алгебры требует изучения центральных мер на пространстве путей диаграммы Браттели. Подробности, другие результаты и точные ссылки

Лемма 3,1.2. Пусть G — конечная или счетная нильпотентная группа ступени 2 с 2-делимым центром; Go — ее подгруппа; g и до — соответствующие кольца Jlu; Р — естественная проекция д* на д^; П — орбита коприсоединенного представления группы G, S = Stab(x), х £ ^ — стабилизатор точек орбиты П в группе G. Тогда
1) стабилизаторы в G0 всех точек вида Р{х), X £ одинаковы для всех точек х;
2) характеры х£П совпадают на множестве 8 П G0;
3) Если Go — конечная группа, то орбиты группы Gq, составляющие множество Р(П), содержат одинаковое число точек, а соответствующие им представления имеют одинаковые размерности.
Доказательство. Пусть ßo]) = 1- Поскольку мы имеем дело с кольцом Ли ступени 2, то в силу (3.6) значения характеров, лежащих на одной орбите группы G, совпадают на центре и, в частности, на пространстве [Ъ, д0]. Отсюда сразу следует, что множество 5о(х) не зависит от выбора: х. что и утверждается в первом пункте леммы.
Более того, значения характеров, лежащих на одной орбите группы G, совпадают даже на стабилизаторе S (в силу (3.7)). Отсюда мы сразу получаем второе утверждение леммы.
Для доказательства третьего утверждения заметим, что одинаковый размер орбит — это следствие п. 1, а совпадение размерностей — следует из равенства сИтт(П) = леммы 3.1.1.4); □
Замечание 3.1.1. Утверждения леммы 3.1.2.1), 2) остаются верными в случае, когда G — счетная группа, а Go — ее произвольная подгруппа, а утверждение 3.1.2.3) верно в случае, когда G — счетная группа, а G0 — конечная подгруппа.
Основным результатом этого параграфа является следующая “теорема Кириллова” (мы фактически цитируем формулировку классической теоремы