Задача рассеяния в терминах билинейных функционалов

• Автор: Кошманенко, Владимир Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 227 c. : ил

Обозначения

Глава I. Абстрактная теория рассеяния в терминах

билинейных функционалов

§ 1.1. Определение волновых операторов в терминах билинейных функционалов

§ 1.2. Переход от обычной постановки задачи рассеяния к ее постановке в терминах

билинейных функционалов

§ 1.3. Обобщенные шредингеровы переходные

функции

§ 1.4. Структура возмущенного функционала

§ 1.5. Обобщенные операторнозначные спектральные меры

§' 1.6. Волновые операторы для полугрупп

§ 1.7. Построение волновых операторов по возмущенной эвклидовой переходной функции . .
Глава II. Сингулярные возмущения самосопряженных
операторов
§ 2.1. Предварительные сведения о билинейных
формах
§ 2.2, Отношения регулярности и сингулярности между билинейными формами
§ 2.3. Классификация сингулярных возмущений
§ 2.4. Сингулярные билинейные формы как возмущения граничных условий

§ 2.5. Метод ортогонального расширения
Глава III. Приложения в квантовой теории поля
§ 3.1. Теория рассеяния Хаага - Рюэля как теория рассеяния в терминах билинейных функционалов
§ 3.2. Теория рассеяния в терминах функций
Швингера
§ 3.3. Задача рассеяния в моделях квантовой
теории поля
Литература

ОБОЗНАЧЕНИЯ
Чу > - сепарабельные комплексные гильбертовы пространстИ, А,1Н - самосопряженные операторы, - оператор, тождественно равный единичному. <5Э ( А ); ^Д) - области
определения и значений линейного оператора Д . У^
$ - билинейные формы, линейно зависящие от первого аргумента
и антилинейно от второго. <§? - тензорное произведение, л. о.
- линейная оболочка, п.о. - положительная определенность, Сл. -след оператора, I4 - знак сужения, с - различные константы. 1ЯИ , Л-> 7.у... - 1л-мерное вещественное пространство, <С2
- поле комплексных чисел, К + - положительная полуось. Черта над множеством обозначает его замыкание, черта над функцией или числом - комплексное сопряжение, жирная черта над билинейной формой - ее замыкание, ~ - знак перехода к фурье-образу. Интегрирование по всему пространству обозначается интегралом без указания пределов интегрирования. ^ ^ - гильбертово пространство, полученное из линейного пространства Ф СУ) стандартной процедурой факторизации и пополнения относительно квазискалярного произведения, заданного положительной билинейной формой У ( £ ^ . ~3 у ( "3 } - оператор канонического вложения Ф Су) в (те^). у(м)
- пространства основных функций Л.Шварца на Д1
В диссертации принята двойная нумерация, своя в каждом параграфе. При ссылке на другую главу первое число указывает номер этой главы.

генерирует унитарную угруппу операторов Ъ(^С6)
= ■ехр(-1'Ь'Н^ч).При этом операторы Н^> и ^ оказываются унитарно эквивалентными.
Теперь мы покажем, что, зная пару функционалов >
можно не только восстановить операторы > унитарно эквивалентные Ц , но и ввести в терминах ^А. волновые опера-
. ч
торы для , которые будут унитарно эквивалентными обычным
волновым операторы для пары в предположении, что последние существуют.
Итак, пусть в для заданной пары самосопряженных операторов ^ (для простоты полагаем ) существуют
обычные волновые операторы
/ . . ч />, 1-Ыл^ 1-Ыл
е . ,„тм -Ь■—ъ -±~ £=-«• (2.16)
Убедимся, что к функционалам ~ ^ применимо
определение 1.1 и оно приводит к операторам Л/ ^ , которые
унитарно эквивалентны операторам . С этой целью
введем, согласно схеме предыдущих построений пару пространств
и пару самосопряженных операторов * О^означим 3^=3^ , ^ . Определим в
~ЗС = 1~-г_ С(£'1) ® *-£ пару групп Цл& ) = е и 2УгС^)=
ТЕОРЕМА 2.6.(Основная). Пусть £ ^В> ^ — Г~ ^=1,2
Р'Ьлс'С!, Существование обычных волновых операторов л/ * £ 1г) ^ эквивалентно существованию изометрических
ВОЛНОВЫХ операторов М — ( ^ 2. ^ ^ . При этом
V/ ~ Си.г, ил') = (^7. ) Ж ЛЛ , (2.17)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что существуют операторы