Экстремальные задачи для положительно определенных функций нескольких переменных с носителем в шаре

• Автор: Ефимов, Андрей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 79 с. : ил.

Оглавление
Введение
1° Классическая задача Турана
2° Одномерный случай задачи Турана
3° Задача Турана для функций нескольких переменных
4е Варианты задачи Турана и близкие задачи
5° Постановка задачи и формулировка результатов диссертации .
6° Основные результаты диссертации
7° Список публикаций, докладов
Глава 1. Аналог теоремы Рудина
§1.1 Введение и формулировка результатов
§ 1.2 Теорема Рудина для непрерывных функций
§1.3 Завершение доказательства теоремы В
Глава 2. Один вариант задачи Турана
§2.1 Редукция к одномерной задаче

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2.2 Существование экстремальной функции в случае т> 3 ... . 38 §2.3 Экстремальные свойства самосверток радиальных функций.
Доказательство теоремы
§ 2.4 Необходимые и достаточные условия экстремальности функции задачи для т > 3
§2.5 Точные значения Фз(а)
2.5.1 <а<
2.5.2 | < а <
Список литературы

Введение
В диссертации изучается вариант задачи Турана на классе Ст непрерывных, положительно определенных функций с носителем в единичном шаре пространства Жт, нормированных в нуле единицей. Рассматриваемая в диссертации задача состоит в отыскании верхней грани интеграла по сфере заданного радиуса а, 0 < а < 1, с центром в начале координат пространства Жт на классе функций Ст. В качестве вспомогательной задачи, представляющей и самостоятельный интерес, исследуется структура положительно определенных радиальных функций с носителем в шаре; полученный в диссертации результат является обобщением известной теоремы Рудина [46] для бесконечно дифференцируемых функций из этого класса.
1° Классическая задача Турана
Задача Турана в ее классическом варианте заключается в следующем. Задано замкнутое, выпуклое, симметричное относительно начала координат тело В С Ж. Рассматривается класс Ст(Т>) непрерывных на Мто, положительно

ГЛАВА 2. ОДИН ВАРИАНТ ЗАДАЧИ ТУРАНА
записано в виде

(^)(г) = I д(х)е~2тхЫх = I д(т) | е~2^ДД = | д{г)1(1,г) йг, 1£т 0 8т-1(г) О
(2.1)

1(Ь,г)= I е-2т^(]Д (2.2)
§">-1(г)
Известно [22, гл. 2, §15, п.п. 4, 5], что
/ / Т т/
ёГ йх = 21гаЗтп/2-{2'каг) а = |£|. (2.3)
х—т
Здесь
к( 1 р+2к
7 (*) = 1----— (-У [ е{гС05вът2рв(16 = У -^ (2.4)
рК ’ ^Г(р+1/2) 2) У ^ЙГ(/> + Н1) 1 '
есть функция Бесселя соответствующего порядка [21, §§ 17.3,17.2].
Формула (2.3), в частности, показывает, что интеграл (2.2) на самом деле зависит не просто от £, а от а = |£|; переобозначим функцию (2.2) через Х(а,г). Итак, имеет место формула

(Р.?)(*) = J д(г)е~21 ёх = У д(г)1(а, г) Д, (2.5)

/ / г т/
е~тхЫх=^-^ 2тгаЗт/2-1(2тгаг), а = Щ. (2.6)
|сс|=г