Достаточные множества в весовых пространствах Фреше целых функций

• Автор: Варзиев, Владислав Аликович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Владикавказ
• Количество страниц: 109 с.

Оглавление
Введение

1 Достаточные множества в весовых пространствах Фреше целых функций

1.1 Весовые пространства проективного типа и мультипликаторы в них

1.1.1 Весовые пространства целых функций

1.1.2 Мультипликаторы и делители

1.2 Достаточные множества для пространств проективного типа. Общие результаты

1.2.1 Критерий достаточности множества

1.2.2 Инвариантность достаточности относительно эквивалентных весовых последовательностей

1.2.3 Прореживание достаточных множеств

1.3 Достаточные множества минимального типа

1.3.1 Понятие минимальных достаточных множеств
1.3.2 Ряды Лагранжа по минимальным последовательностям
1.3.3 Понятия согласованности и правильности. Достаточность минимальных последовательностей
1.4 Согласованность и правильность. Следствия для достаточных множеств
1.4.1 Согласованность

1.4.2 Правильность
1.4.3 Согласованность и правильность одновременно
2 Линейный непрерывный левый обратный у оператора
сужения на пространствах Фреше целых функций
2.1 Постановка задачи
2.2 Достаточные условия существования линейного непрерывного левого обратного
2.3 Необходимые условия существования линейного непрерывного левого обратного
2.4 Необходимые и достаточные условия наличия линейного
непрерывного левого обратного
3 Приложения к абсолютно представляющим системам и
линейному непрерывному правому обратному к оператору представления в (ЬВ) - пространствах
3.1 Ряды по дельта-функциям
3.2 Оператор представления по дельта-функциям
3.3 Приложения к абсолютно представляющим системам обобщенных экспонент
3.4 Оператор представления в конкретных функциональных
(ЬВ)-прострапствах и существование у него линейного непрерывного правого обратного
Литература

Введение
Актуальность темы. Задача представления гладких функций рядами по заданным последовательностям функций простого вида является классической и, наряду с самостоятельным интересом, имеет важное прикладное значение (например, при изучении разного рода функциональных уравнений). Особое место в данной тематике занимают разложения в ряды экспонент в пространствах голоморфных в области функций. Они обладают рядом специфических свойств, которые кардинально отличают их от их действительных аналогов, коими являются ряды Фурье. В частности, как известно, такие разложения, как правило, неединственны. Основополагающими в этом направлении являются исследования А.Ф. Леонтьева, начатые в 60-х годах прошлого века и собранные впоследствии в монографиях [30]—[32]. Им было показано, что для любой ограниченной выпуклой области С комплексной плоскости С можно подобрать такую последовательность комплексных чисел что всякую функцию /, аналитическую в С, можно представить в виде абсолютно сходящегося ряда

/М = £>еА‘
к= 1 __
в пространстве А(Сх) всех аналитических в (? функций с топологией равномерной сходимости на компактах из С. Эта область теории функций была предметом исследования для многих известных специалистов, ерс-

только что введенному определению. Основной вопрос, который нам предстоит изучить — выяснить условия, по возможности необходимые и достаточные, при которых Л является ДМ для Р(Ф). Из сказанного выше следует, что одним из необходимых условий на Л является то, что для всех функций из £(Ф;Л) должны выполняться равносильные условия (1.3.1), (1.3.2), (1.3.3). Чтобы выяснить достаточные условия на минимальную для Р(Ф) последовательность Л, при которых она является ДМ для этого пространства, нам потребуется дополнительная подготовка, которой посвящен следующий раздел.
1.3.2 Ряды Лагранжа по минимальным последовательностям
В текущем пункте мы приводим стандартные вспомогательные результаты о специальных представлениях целых функций рядами Лагранжа. Начиная с работ А. Ф. Леонтьева (см., напр. [30]), такие разложения являются одним из основных инструментов в задачах представления функций рядами экспонент и их обобщений. В [С] была разработана модификация этого метода, позволяющая изучать минимальные слабо достаточные множества для пространств целых функций индуктивного типа. Ниже мы приводим подобную модификацию для проективного случая.
Лемма 1.3.2. Пусть А = (АД^ — минимальная для Р{Ф) последовательность и Ь — какая-либо функция из Д(Ф;А). Обозначим через А последовательность всех нулей Ь. Предполоо/сим, что существует такой отличный от тоо/сдествеиного нуля мультипликатор д0 из Л1(Ф), который обрашщется в нуль во всех точках А А, причем с не меньшей, чем Ь, кратностью. Далее, допустим, что имеются помер пёМ