Исследование многомерного сингулярного оператора по ограниченной области с непрерывной плотностью и его приложения

• Автор: Сабир Хассан, Рабии Хассан Сакр
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 144 c. : ил

ГЛАВА I. ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ МНОГОМЕРНОГО СИНГУЛЯРНОГО

ОПЕРАТОРА В ОБОБЩЕННЫХ ГЕПЪДЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.д

§ IЛ Постановка задачи и некоторые.предварительные

сведения

§ 1.2 Основная оценка

§ 1.3 Изучение сингулярного интегрального оператора

в пространствах Ну

Глава II. ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ МНОГОМЕРНОГО СИНГУЛЯРНОГО

ОПЕРАТОРА В ПРОСТРАНСТВАХ ГЕЛЬДЕРА С ВЕСОМ

§ 2.1 Вводная часть и постановка задачи

§ 2.2 Основная оценка

§ 2.3 Изучение сингулярного оператора в весовом
гельдеровом пространстве
§ 2.4 Классификация гельдеровых пространств с
весом
§ 2.5 Некоторые частные случаи
Глава III. О РАЗРЕШИМОСТИ ОДОГО МАССА СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЄ
Л И Т Е Р А Т У Р А

Исследование одномерных сингулярных интегралов восходит к Гильберту и Пуанкаре. В 20-х и 30-х годах Трикоми, Жиро и Михлин перенесли эти результаты на многомерный случай.
Соответствующие ссылки на эти результаты, а также их краткое описание можно найти в монографии С.Г.Михлина [М]. В этой книге содержится также исчерпывающее изложение исследований по теории многомерных сингулярных интегралов и сингулярных интегральных уравнений.
Новый период в теории многомерных сингулярных интегралов в пространствах Lp начался в 1952г. работой Кальдерона и Зигмунда [24,25] . Основная проблема, которой посвящены исследования Кальдерона и Зигмунда - это проблема об ограниченности многомерного сингулярного интегрального оператора в пространствах Lp(P ), р>1 •
Несмотря на обширные исследования по многомерным сингулярным интегральным операторам, мало изучен вопрос ограниченности в пространствах непрерывных функций многомерных сингулярных интегральных операторов по ограниченной т - мерной области с ядром Кальдерона-Зигмунда-Михлина. В этом направлении можно отметить работы Погожельского, Аниконова, Абдуллаева С.К. и др.
Подробно остановимся на тех работах, которые имеют непосредственное отношение к результатам настоящей работы.
В диссертации рассматривается многомерный сингулярный оператор
(Аи)(х) = / pliîl Xç е
& l*-yl

ж О
где (г - ограниченная область в к , /п>,2 и. характеристика
/(*, 9) непрерывна на & *52 ( Q - единичная сфера в Я )
1^(х,6)с(б -0, їхєС, (I)
и нелинейные интегральные уравнения, содержащие эти сингулярные интегралы.
В работе [6] Д.СиАниконов рассмотрел вопрос об ограниченнос-

ти сингулярного оператора /I в пространствах С непрерывных функций на £ , удовлетворяющих условию Гельдера с показателем ь <ос<і , когда граница ?£ области £ принадлежит
л і)і
классу с
В [6] доказана
ТЕОРЕМА I. Пусть £ - ограниченная область с границей
класса С1'1 , /Оь 6) - непрерывная функция на £ *52 , удовлетворяет условию (I) и 1$(х1,Ъ1)-¥{згг,д2')] <£■ 419,-9^)
где хихгє £ , 61}в2єЯ , і, А - положительные числа.
Тогда для того, чтобы оператор /I был определен и ограничен
из пространства £ в себя, достаточно, а также необходимо, если ^(0С,9)=$(в) , чтобы для всякой ТОЧКИ Х-Є & и любой полусферы І? 1 выполнялось равенство
//(*> в) с!в -0 (2)
Отметим, что эта теорема в одномерном случае не имеет аналога. Также отметим, что в силу этой теоремы видно, что для ограничен— ности оператора А в С (6) сингулярное ядро должно обладать дополнительным условием (2), не выражаемым в терминах гладкости

§1.3. Изучение сингулярного интегрального оператора в пространстве Нч>
Рассмотрим в пространстве Ну сингулярный интегральный оператор
(Ли) Ы = (фО = / Edl
я Ьи-уг
По определению
4 ={иє С(6)-со (К) =:0(f(fy
г и
где ^/// - совокупность модулей непрерывности первого порядка [12] Как известно, Ну является банаховым пространством с нормой
Hull * llUll + Sup — u(^
Ну C(G-) о*Ь*сІ
Для функций єМН таких, что J —dEoo введем оператор
Зигмунда
6 а
г КТ*
Теперь сформулируем и докажем теорему об ограниченности оператора А в пространстве Ну
ТЕОРЕМ І.З.І. Пусть область & и функция /(аи В) удовлетворяют условиям основной теоремы І.2.І.
Если £ Ш СІІ < 00 ,2 (у, Ь) = 0 (р(й)) ,
6 *