Характеристические свойства некоторых классов интегральных операторов

• Автор: Ушакова, Елена Павловна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 206 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1 Классы операторов с монотонными ядрами
1.1 Ограниченность из Ьр в Ьч
1.1.1 Вспомогательные утверждения
1.1.2 Условия ограниченности
1.1.3 Примеры
1.2 Преобразования Лапласа и Стилтьеса из 1Р в Ьч
1.2.1 Ограниченность и компактность
1.2.1.1 Условия компактности преобразования Лапласа
1.2.1.2 Условия компактности преобразования Стилтьеса
1.2.2 Оценки норм Шаттена-фон Неймана в случае р=д
1.2.3 Оценки на аппроксимативные числа преобразования Лапласа
1.2.3.1 Предварительные оценки
Случай 1 < р, д < оо
Случай 0 < 1.2.3.2 Нормы типа Шаттена
Случай р >
Случай р
1.2.3.3 Асимптотическое поведение
ГЛАВА 2 Операторы типа Харди-Стеклова
2.1 Методы и вспомогательный материал
2.1.1 Блочно-диагональный метод
2.1.2 Оценки на нормы операторов типа Харди
2.1.3 Фарватер-фуикция
2.2 Ограниченность и компактность из Ьр а Ьч
2.2.1 Оператор Харди-Стеклова
2.2.2 Обобщенный оператор Харди-Стеклова
2.3 Приложения
2.3.1 Ьр — Ьч неравенства на монотонных функциях
2.3.2 I/1 — Ьч неравенство для оператора геометрического среднего
типа Харди-Стеклова
2.3.3 Вложения весовых пространств Соболева в весовое Ья
2.3.3.1 Конструкция Ойнарова-Отелбаева
2.3.3.2 Принцип двойственности
2.3.3.3 Условия непрерывности вложений
2.4 Оценки норм Шаттена-фон Неймана
2.4.1 Основной результат
2.4.1.1 Предварительные оценки
2.4.1.2 Обозначения и технические леммы
2.4.1.3 Нижние и верхние оценки на нормы Шаттена
2.4.2 Альтернативные верхние оценки
ГЛАВА 3 Многомерные операторы Харди из I/ в Lq
3.1 Двумерное весовое неравенство Харди
3.2 n-мерное неравенство Харди с условиями на весовые функции
3.2.1 Случай 1<р<5<оо
3.2.2 Случай 1 < q < р < оо
3.3 Предельное весовое неравенство Харди для гс-мерного оператора геометрического среднего
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
N — множество натуральных чисел
Ж — множество целых чисел
К — действительная ось (—оо, +оо)
К+ — неотрицательная полуось [0, +оо)
— множество М+ х ... х К+

п раз
{,} — любой из промежутков (,), [,) или (,]
||Т||х->у — норма оператора X из функционального простран-
ства X в функциональное пространство У
А <С В или А В — выражения вида А < сВ или А > с В с константами
с, зависящими только от числовых параметров А к В — выражение вида А В А
Хе — характеристическая функция множества Е С
х = — обратная функция к у = /(х)
#{М С Ж} — счетная функция множества М С Ж
/ 4- (/ Т) невозрастающая (неубывающая) функция / > О
АС(1) — множество абсолютно непрерывных на I С (0,оо)
функций
и, V, г0, «1, 'ш — неотрицательные весовые функции (веса) на К+
р' — параметр, сопряженный к р > 0 и равный
г — параметр, ранный где р,д > О
п.в. — почти всюду
:= или =: — значки для определения новых величин

гоо г оо
I f(t)v(t)dt / А;(:г, £)-шу(.т) drr
jo ./о
/оо / /оо
y)f{y)v(y) dyiJ к{х, z)f{z)v(z) d;
П /'ОО /»ОО / /*оо
—j" J f{t)v(t)dt I k{x,t.)w4{x) dx Ij k(x, z)f(z)v(z) dz

/ MH*jyw4. □
q — l j о
Замечание 1.2. Чтобы получить утверждения, аналогичным леммам 1.1 и 1.2, для к(х. у) > 0, убывающих по х, можно перейти к двойственному для (1.1.2) Ья — 1Р - неравенству с оператором К'д{у) := v(y) /0°° k(x, y)g(x)w{x) da;. В этом случае аналогом (1.1.6) является
/»ОС /’ОО /»оо
ао / и, если к(х,у) < 1, то правую часть в (1.1.8) можно заменить на оценку
/»ОО /’ОО
/ (Я*# < /з; / 3№(Яц,.(7)р'-1¥1.
J0 -/о
Тем же способом доказываются аналогичные оценки для fe(rr, х/) > 0, возрастающих по т, у. Детали мы опускаем.
1.1.2 Условия ОГРАНИЧЕННОСТИ
Теорема 1.1. Пусть 0 < к(х,у) < 1 убывает по у, причем Wj(oo) = W9(oo) = О.
Тогда для константы Ск в (1.1.2) выполняются следующие оценки:
supW%(t)V7(t) < Ск < supWï(t)V?(t)
t>0 t>0
(/ w*vP)r (/ yp) " - c* (/ W,’F,//)r
1 / /'OO _i_
supWq{t)v(t) < Ск С ( / ü'-1 d(—W51-’)
>o J о

(1 < р < q < оо), (1.1.9)
(1 < q < р < оо), (1.1.10)
(0<д<1<р< оо), (1.1.11)
(0 < q < 1 = р) (1.1.12)
zdev(t) := esssup0 Доказательство. Пусть Ф(ж) > 0 не возрастает на К+ и Ф(оо) = 0. Тогда при q > 0 и финитной / имеем