Абсолютно представлюящие системы степеней простейших дробей

• Автор: Семенова, Галина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 89 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. КРИТЕРИИ АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ СТЕПЕНЕЙ ПРОСТЕЙШИХ ДРОБЕЙ В ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ, АНАЛИТИЧЕСКИХ В ОБЛАСТИ
§1.1. Основные определения и постановка задачи
§ 1.2. Вспомогательные сведения и результаты
§ 1.3. Функциональный критерий
§ 1.4. Геометрические критерии для конечносвязных областей
§ 1.5. Разложения по системе Д’(д) в областях с компактной
в С границей
§ 1.6. Абсолютно представляющие системы степеней простейших
дробей с ограниченным множеством Л
§ 1.7. Следствия из основных теорем
§ 1.8. Геометрическая характеризация абсолютно представляю-
щих систем простейших дробей в ограниченных выпуклых областях
ГЛАВА 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ И СВОЙСТВА АБСОЛЮТНО
ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ СТЕПЕНЕЙ ПРОСТЕЙШИХ
ДРОБЕЙ
§2.1.0 существовании абсолютно представляющих систем в
пространстве " 1-м;)
§ 2.2. Критерии абсолютно представляющих систем Г(л)
для конкретных областей
§ 2.3. О продолжаемости абсолютно представляющих систем
вида (Л)
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Одним из важнейших направлений комплексного анализа является изучение задач, связанных с разложениями в ряды по фиксированной последовательности функций из различных пространств. Помимо того, что они представляют самостоятельный интерес, полученные в процессе их решения результаты широко применяются при исследовании различных вопросов теории аппроксимации и интерполяции, разрешимости уравнений типа свертки и эффективного построения их решений. Существенное место в этой тематике занимает теория представления функций, голоморфных в областях или на компактах, рядами Дирихле и их обобщениями. Интенсивная разработка этой теории началась с фундаментальных исследований А.Ф. Леонтьева, подытоженных в монографиях [13], [14], и привела к созданию и развитию (в основном, в работах Ю.Ф. Коробейника и его учеников) общей теории абсолютно представляющих систем в локально выпуклых пространствах. При этом, согласно данному Ю.Ф. Коробейником
определению (см., например, [6]), последовательность X = {х
ненулевых элементов произвольного локально выпуклого пространства Н называется абсолютно представляющей системой в Н, если любой
элемент х из Н можно представить в виде суммы ряда х = скхк >

абсолютно сходящегося по топологии Н. Эта теория, основанная на синтезе идей и методов функционального анализа и теории функций, позволила, с одной стороны, решить ряд известных, а с другой - ряд новых задач.

Исторически одним из первых примеров абсолютно
представляющей системы, не являющейся базисом в некотором банаховом пространстве функций, аналитических во внешности замкнутой спрямляемой жордановой кривой, была последовательность
и свойства функций, представимых такими рядами, интересовали многих математиков. Здесь следует отметить работы Дж. Вольфа, Т. Карлемана,
А. Данжуа, A.A. Гончара, Т.А. Леонтьевой, Ю.Ф. Коробейника и другие
([9], [15] - [19], [24], [26] - [27], [31] - [35], [37]). Следует подчеркнуть,
что в отличие от системы экспонент, которая образует абсолютно представляющую систему в пространствах функций, аналитических лишь в выпуклых областях или их замыканиях, последовательность простых дробей можно рассматривать и в невыпуклых областях. Однако, известно ([9]), что не существует такой области б расширенной
- пространство всех функций, аналитических в области й и исчезающих в бесконечно удаленной точке (если последняя принадлежит Сг), наделенное топологией равномерной сходимости на каждом компакте из
О. Поэтому естественным объектом исследования в перечисленных
вида
— > ([33]). Вообще, разложения в ряды вида
z~h=
k=iz~Äk ы
комплексной плоскости С, что система
является
абсолютно представляющей в пространстве Hq(G). Здесь и далее Hq(G)

у = 1,2
рез г (к) номер (по г) той компоненты Опг,ъ которую попало
номер, очевидно, не зависит от п. Так как по условию при некотором
т = т(п) дСтт К{Хк,р(Хк,дСп)), то IIК(ік,р(Ак,дСп)) также по-к к
крывает контур Тт г при этом т . Выделим из этого покрытия конечное
области G с замыканием общей части двух любых его кружков было либо пустым, либо связным множеством. Рассмотрим все попарные пересечения этих кружков, компактно лежащие в G. Так как их конечное число, то объединение замыканий этих пересечений есть компакт, лежащий в G . Обозначим его через Sr. Выберем теперь контур с настолько большим номером тг, что г лежит в TrSr. Далее, поскольку
<р € Hq(G°) , то имеется такое р = р{(р)е N, что <р е Hc q(Gcp ). Пусть срг - сужение (р на Ор Г, являющееся аналитической внутри Qp r и непрерывной вплоть до Тр г функцией (г = 1
(pr(z), zzOps
где к = 1,1, является аналитическим продолжением (рг в область ntQm г, непрерывным вплоть до Гтг. Полагая = шах тг, полу-
1<т-5
чим, что функция у/(г) := (рг (г), 2 е()тг, г = 1
Ак сходится, по крайней мере, в круге К(Хк, р{Хк, dGrt)). Обозначим че-
подпокрытие Tr = U к{хк,р{хк,Тп г)) так, чтобы пересечение границы