Разложения по собственным функциям функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием

• Автор: Луконина, Анна Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 117 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Резольвента функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием
1.1. Преобразование краевой задачи в пространстве вектор-функций размерности два
1.2. Исследование некоторых интегралов
1.3. Резольвента оператора Ь
Глава 2. Теорема равносходимости для функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием
2.1. Вспомогательные предложения
2.2. Равносходимость разложений по с.п.ф. оператора Ь и в тригонометрический ряд Фурье
Глава 3. Аналог теоремы Жордана-Дирихле для разложений по с.п.ф.
оператора Ь
Глава 4. Суммируемость по Риссу разложений по с.п.ф. оператора Ь
Список литературы
Введение
Актуальность темы. Исторические сведения. Многие вопросы построения и исследования математических моделей физических явлений приводят к задачам спектрального анализа самосопряженных и несамосопряженных операторов, т.е. исследованию спектра и разложению заданной функции в ряд но собственным и присоединенным функциям (в дальнейшем с.п.ф.) оператора. Особенно возрос интерес к этой области в последние десятилетия в связи с развитием квантовой механики, при решении многих задач которой спектральный анализ является основным математическим аппаратом. Спектральный анализ самосопряженных и несамосопряженных операторов включает в себя задачи нахождения собственных значений и с.п.ф., разложения произвольной функции в ряд по с.п.ф., изучения полноты и базисности систем с.п.ф., исследования равносходимости разложений по с.п.ф. и по известным системам функций и мн.др. Интерес к спектральной теории велик, и в ее развитие в последние десятилетия достигнуты значительные успехи.
Настоящая работа посвящена исследованию равносходимости разложений по с.п.ф. функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием, весовая функция в котором имеет степенную особенность, и в обычный тригонометрический ряд Фурье, получению аналога теоремы Жордана-Дирихле из теории тригонометрических рядов для разложений по с.п.ф. данного оператора, а также вопросу суммируемости по Риссу спектральных разложений этого оператора.
Исследование равносходимости спектральных разложений представляет собой интенсивно развивающееся направление, начало которого было положено в работах
В.А. Стеклова [1], Б. Гобсона [2], А. Хаара [3] для случая дифференциального оператора Штурма-Лиувилля и Я.Д. Тамаркина [4, 5], М. Стоуна [6] для дифференциального оператора произвольного порядка

Ау = у(п) +'2рк{х)у('к те [0,1], Рк(х) е С [0,1], /с = 0, (п-2), (1)

с произвольными краевыми условиями

из(у) = + Ь1кУ(к){1)] = 0, 3 - Туп, (2)

удовлетворяющими условию регулярности Биркгофа [7, с. 66-67]. Эти условия заключаются в отличие от нуля некоторых определителей, составленных из коэффициентов
при старших производных в Uj(y) (после приведения их к нормированному виду [7, с. 65-66]).
Оператор (1), (2) при произвольном п впервые был исследован Дж. Биркгофом в 1908 году [8, 9]. При выполнении условий регулярности им были получены асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций и было доказано, что ряд Фурье по с.п.ф. всякой функции /(ж) ограниченной вариации сходится к {/(х + 0) + /(ж —0)}/2 в каждой точке х Е (0,1), а в точках 0 и 1 он сходится к а/ (0 + 0) + bf (1 — 0), где а и Ь определяются граничными условиями. Я.Д. Тамар-кин [4, 5] для таких операторов нашел обобщение теоремы равносходимости разложений по с.п.ф. и в тригонометрический ряд Фурье, доказанной первоначально для уравнений второго порядка В.А. Стекловым [1]. Приведем один из результатов Я.Д. Тамаркина*.
Теорема. Для оператора (1) с регулярными краевыми условиями (2) существует такая последовательность номеров {ki}, что для всякой /(ж) £ L[0,1] и любого S £ (0,1/2)
lim ||Skl(f) - cri{f)\cis,i-6} = 0, (3)
г—*00
где Sk{f) и 0fc(/) - частные суммы рядов Фурье функции f{x) по с.п.ф. и обычной тригонометрической системе (к - число членов). Условия регулярности снять, вообще говоря, нельзя.
Результаты Дж. Биркгофа и Я.Д. Тамаркина были получены методом Коши-Пуанкаре интегрирования резольвенты по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра. В.А. Ильин разработал новый подход получения теорем равносходимости, когда дифференциальный оператор не привязывается к граничным условиям, а лишь используется дополнительная информация о поведении собственных значений и собственных функций (основополагающие статьи [10]- [13]).
Если краевые условие регулярны, то М. Стоун показал [6], что имеет место равносуммируемость на любом отрезке [а, Ь] С (0,1) средних Рисса порядка / (( > 0)
-s/H)‘w <4>
|А|=г
где Дд - резольвента оператора (1),(2), а контур |А| = г не проходит через собственные значения данного оператора, и аналогичных средних для обычного тригонометрического ряда Фурье произвольной функции / £ L [0,1]. Полное решение вопроса о равно-
*В [G] М. Стоуном получен схожий результат при рДх) 6 L[0,1].

= 7Г (1 — а) (Ли;)“-1 еА" {*(0) Лц(1) + *(1) Ли (0) (-1)“"1 е-Аш + 0(1)}, и?2 = 22 (Л22) + д 22 (Л12)
= Г (1 - а) (Ла/)““1 {к (1) Ли (0) + к (0) Л22 (1) (-1)а-1 е“Аш + о (1)} +
+ 1Г (1 _ а) (Ла;)0-1 {А: (1) Лг2 (0) + /о (0) Л12 (1) (-1)“"1 е-А" + о (1)}
= Г (1 - о) (Ла;)“"1 {к (1) Л22 (0) + к (0) Л22 (1) (-1)““1 е~Аш + о (1)}
Используя данные асимптотические формулы, получаем
IIи и22 = Г2 (1 - а) (Ла;)2'“-15 еАш {к (1) Ли (1) + к (0) Ли (0) (-1)““1 е-Аш + о (1)}
• {к (1) Л22 (0) + к (0) Л22 (1) (—1)“ 1 е Аы + о (1)}
= Г2 (1 - а) (Ла;)2'“-15 {к2 (1) Лц (1) Л22 (0) +
+ Л (0) Л (1) (Лп (1) Л22 (1) + Лц (0) Л22 (0)) (-1)“-1 е-Аш+
+к2 (0) Лц (0) Л22 (1) (— 1) ' 5 е 2Аш+о(1)|',
ип и2 = 72 Г2 (1 — а) (Ли;)2'“-15 еАш {*(0) Л22 (0) + к (1) Л22 (1) (-1)“-1 + о (1)}
• {к (0) Лп (1) + к (1) Ли (0) (-1)“-1 е~Хш + о (1)}
= 72 Г2 (1 - а) (Ли;)2'““15 еАш {к2 (0) Ли (1) Л22 (0) +
+ к (0) к (1) (Ли (1) Л22 (1) + Лц (0) Л22 (0)) (-1)“-1 еЧ-+к2 (1) Ли (0) Л22 (1) (-1)2'“-15 е-2А“ + о (1)}
Отсюда
det Д (Л) = ип и22-и12 и21 = Г2 (1 - а) (Ли;)2'“"15 еАш {а0 + а1е~Хи + а2е~2Хы + о (1)} ,
где а0 = Лц(1)Л22(0) (Л2(1) - 72Л2(0)) ,
ах = (-Х)“- - 72)Л(0)Л(1) (Ли(О)Ли(О) + Ли(1)Л22(1)), а2 = (-1)2'“-15Ли(0)Л22(1) (Л2(0) - 72Л2(1))
Учитывая, что Лц(0) = Л22(0) = 1, получаем (1.48).
2) Пусть теперь Ие Ли < 0. Тогда будем иметь
ип (ф) = I р (А) ф (А) еА- Л = у Л

= Г (1 - а) (-Ли;)“-1 {к (0) ф (0) + к (1) ф (1) (-1)“'1 еА" + о (1)} ,