Асимптотика рядов Дирихле заданного роста

• Автор: Юсупова, Наркес Нурмухаметовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 103 с.

§0.1 Предварительные сведения

§ 0.2 Обзор результатов и постановка задач

§ 0.3 Основные результаты диссертации

§ 0.4 Вспомогательные факты

Глава I. Подготовительные теоремы о рядах Дирихле специального вида

§ 1.1 Дополнение к теореме единственности М.А. Евграфова

§1.2 Устойчивость логарифма максимального члена ряда

Дирихле

Глава II. Поведение рядов Дирихле заданного роста на кривых

§2.1 Оценка рядов Дирихле с выпуклой мажорантой роста

на кривых
§ 2.2 Асимптотика на кривых ряда Дирихле с выпуклой
мажорантой на последовательности точек
Глава III. Ряды Дирихле с вещественными коэффициентами, имеющие выпуклую мажоранту роста
§ 3.1 Обобщение теоремы Полна о целых функциях с
вещественными коэффициентами
Литература

§0.1. Предварительные сведения
Важное значение в теории функций, дифференциальных уравнениях, теории чисел и других разделах анализа имеет изучение асимптотических свойств целых или аналитических в некоторых областях функций. Огромный вклад в развитие данного направления внесли такие известные математики, как Э. Борель, А. Виман, Ж. Валирон, Д. Полна и другие.
В 1882 году Ж. Адамар вывел формулы, выражающие порядок и тип целой функции через коэффициенты Тейлора [1]. Аналогичная задача для аналитических в единичном круге функций была решена М.Фудзивара [2], Н.В. Говоровым [3] и другими (см. [4]).
Пусть {рп} — возрастающая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющих условию
В этом случае говорят, что последовательность {рп} имеет лакуны Фейера. Аналогично, целая функция

имеет лакуны Фейера, если последовательность £(/) = {п : сп ф 0 (п > 1)} имеет лакуны Фейера. В этом случае ряд (2)
(1)

(2)

есть лакунарный степенной ряд вида

/(*) = Со + ^2 апгП (ап = сРп ^ °)- (3)

Хорошо известно, что целая функция с лакунами Фейера принимает каждое комплексное значение бесконечно много раз [5]. Этот интересный факт и другие соображения наводят на мысль о наличии у целых функций /, заданных рядами (3), хороших асимптотических свойств. Это подтверждается многочисленными исследованиями, которые проводились специалистами по теории функций в течение многих лет (см., п-р, [6]). Отметим, что условие (1) естественно появляется в случае, когда изучаются целые функции вида (3) в самом общем случае, то есть без никакого ограничения па рост. Если рассматриваются целые функции (3) с ограничением на рост, например, целые функции конечного порядка, условие (1) заменяется на более слабое, зависящее от поведения величины
В случае, когда областью сходимости ряда (3) является единичный круг, асимптотические свойства суммы ряда зависят от функции [8]
В данной ситуации, в отличие от предыдущего случая, никаких ограничений на рост функции (3) сверху вблизи единич-

(см., н-р, [7])
Далее, поскольку Ьп < ею^ (п > Лг), то при к > N
А = а„Ьпех*° (1.19)
где к = к(а) — центральный индекс ряда (0.10).
Пусть р = р(а) — решение уравнения и)1(р) = З1п/Д(<т), а
Щ, = ^2 апЬп еХпа, р = р{а).
К>р
Положим и*(а) = 1пЗ + 1п1п/г(<т). Применяя лемму 1, из тех же рассуждений, при помощи которых была получена оценка получаем, что

< ст[р*ь{а)]~2{1+о{1)), ст =
п=1 п
если а —> оо вне некоторого множества Е2 С [0, оо),
тев(Е2 П [0, — о(Д), tj —> оо. (1.20)
Здесь tj — решение уравнения р(а) — ж;-, а {хД — последовательность, фигурирующая в условии (1.16). Отсюда следует, что к(сг) Д Р(<7), если а > <т2, сг ^ Е2. Следовательно, из (1.19) получаем, что при а —> оо вне Е2
рК°) < д(а)еад(р(ст)) = ц(сг)цДсг)о(1),
то есть
(1 + о(1))1п/4(<т) < 1п/л(сг). (1.21)
Убедимся, что с1Е = 0, где Е = Д и Д. Этот факт непосредственно из (1.17) и (1.20) не следует. Поэтому рассмотрим