Условия сходимости орторекурсивных разложений в гильбертовых пространствах

• Автор: Политов, Антон Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 69 с.

Содержание
Введение
Орторекурсивные разложения в гильбертовом пространстве .... б Орторекурсивные разложения по системам подпространств
Цель работы
Структура и основные результаты работы
1 ОРР в матричном виде
1.1 Общие сведения об операциях над бесконечными матрицами .
1.1.1 Определение бесконечных матриц и основных операций
над ними
1.1.2 Обращение бесконечных матриц
1.2 Критерий сходимости ОРР
1.3 Связь между формулировками в двумерном случае
1.4 Связь между матрицей Грама системы векторов и орторекур-сивными разложениями по подсистемам этой системы
1.5 Необходимое условие устойчивости к ошибкам в терминах матрицы Грама
1.6 Формула для вычисления орторекурсивных коэффициентов с помощью матрицы Грама
2 Достаточные условия сходимости обобщенных ОРР
2.1 Основные определения
2.2 Система вложенных подпространств
2.3 Достаточные условия сходимости
3 Сходимость ОРР по системам сжатий и сдвигов
3.1 Приближения кусочно-постоянными функциями в!г
3.2 Доказательство теоремы о сходимости ОРР по системе двоичных сжатий и сдвигов
3.3 Обобщенные системы сжатий и сдвигов
3.3.1 Системы сжатий и сдвигов с недвоичными сжатиями .
3.3.2 Системы сжатий и сдвигов нескольких функций
3.3.3 Системы сжатий и сдвигов произвольного семейства функций
3.4 Системы сжатий и сдвигов на квадрате
Заключение
Список литературы

Введение
Теория ортогональных рядов (рядов Фурье) — одно из традиционных направлений математики, изначально появившееся при изучении различных физических явлений: теплопроводности, колебаний струны, распространения звука. Одним из основоположников этой теории стал Даламбер, проинтегрировавший в 1747 году уравнение звучащей струны, что послужило началом для целого ряда работ, раскрывших понятие произвольной функции. Первоначальный вопрос, стоявший перед Даламбером, был таким: если произвольно отклонить струну от ее положения равновесия, существует ли формула, точно изображающая начальное положение этой струны?
Фурье дал утвердительный ответ на этот вопрос, предложив метод вычисления коэффициентов тригонометрического ряда, изображающего «произвольную функцию». Он использовал свои методы для создания теории теплопроводности, но они достаточно быстро стали мощным инструментом исследований в астрономии, акустике, теории приливов и других прикладных науках. Более подробная информация о задаче Фурье и смежных вопросах содержится, например, в [1].
Несмотря на то, что работы Фурье не отличались полной строгостью (достичь ее удалось только во времена Гильберта), они коренным образом изменили представления своего времени — тогда большинство, включая Эйлера, считало, что каждому аналитическому выражению соответствует кривая, последовательные части которой зависят друг от друга. Однако Фурье доказал, что такое понимание ошибочно, так как физик, чертящий кривую, всегда может изменить ее направление, и любую начерченную кривую возможно задать одной формулой.
1. CG = G.
2- Пп=1 9n.n+1 = 0.
Доказательство.
Введем несколько обозначений. Через <рт.п обозначим ориентированный угол от вектора ет до вектора еп. Положим
= Sill (piг,п+
ßiг — COS (/?n.n+l 5 п

Ai — oil. An — 7n-iQ-'n;
/Аг COS (^i.n+ь z/n — sin C^l.Ti+l-
Тогда условие из теоремы А эквивалентно равенству
lim 7п = 0.
п—>эо
Без ограничения общности будем считать, что ei и ег не коллинеарны. Тогда все остальные векторы из £ являются линейными комбинациями е и в2. Поскольку орторекурсивный ряд линейной комбинации является линейной комбинацией соответствующих орторекурсивны рядов, равенство
CG = G
эквивалентно равенству
C'G' = G",