Емкостные свойства равномерно совершенных множеств и конденсаторов

• Автор: Лазарева, Оксана Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 173 с.

Оглавление
Введение

1. Основные понятия и обозначения

1.1. Общая терминология и обозначения

1.2. Конформная емкость обобщенного конденсатора

1.3. Заполнение конденсаторов и сходимость кольцевых областей

1.4. Трансфинитный диаметр и трансфинитный модуль

2. Равномерно-совершенные множества и их свойства

2.1. Определения равномерно совершенного множества

2.2. Теоремы сходимости для равномерно совершенных множеств

2.3. Метрическая связность равномерно совершенного множества

3. Конформная емкость равномерно-совершенных конденсаторов
3.1. Конденсаторы с равномерно совершенными пластинами
3.2. Экстремальная функция для конформной емкости
3.3. Непрерывность конформного модуля по равномерно совершенной пластине конденсатора
3.4. Нижние оценки конформной емкости равномерно совершенных конденсаторов
4. Приведенный модуль равномерно-совершенного множества
4.1. Определение приведенного модуля и его связь с другими понятиями теории потенциала
4.2. Нижняя и верхняя оценки приведенного модуля

4.3. Непрерывность приведенного модуля в классе равномерно совершенных компактов
4.4. Непрерывность приведенного модуля относительно сходимости к ядру
D. Дополнения
D1. Дополнение к главе
D2. Дополнение к §3.2 главы
D3. Дополнение к §4.1 главы IV
Список литературы
Глоссарий

Введение
Главным объектом исследований, представленных в данной работе, служит конформная емкость пространственных конденсаторов и свойства приведенных модулей компактных множеств в пространстве. Использование конформной емкости в теории пространственных квазиконформных отображений, начавшееся в середине прошлого века с работ Ф. Геринга и Ю.Г. Решетника, наряду с применением мощного метода модулей семейств кривых (Б. Фюгледе, Б.В. Шабат, В.А. Зорич, Ю. Вяйсяля, И.П. Митюк, В.М. Ми-клюков, A.B. Сычев, П.М. Тамразов. В.А. Шлык и др.), уже доказавшим свою эффективность в решении экстремальных задач терии однолистных аналитических функций (Дж. Дженкинс, Г.В. Кузьмина, В.Н. Дубинин и др.), способствовало созданию современной теории квазиконорфных, ква-зирегулярных и квазимероморфных отображений, находящей многообразные приложения в смежных областях топологии (теория клейновых групп и многообразий - JL Альфорс, А. Бердон, Ф. Геринг, Б. Ананасов, A.B. Тетенов и др.), геометрии (теория минимальных поверхностей - В.М. Ми-клюков, теория орбифолдов - А.Д. Медных, А.Ю. Веснин и др.), математического анализа (анализ на группах Карно и Каратеодори - С.К. Водопьянов, П. Коскела и др.), дифференциальных уравнений эллиптического типа (В.Г. Мазья, Ю.Г. Решетняк, Б. Боярский, Т. Иванец и др.). Теорема о равенстве конформной емкости конденсатора и модуля семейства кривых, соединяющих его пластины, доказанная в самой общей форме В.А. Шлыком в 1993 г., устанавливает эквивалентность методов, основанных на применении емкости конденсаторов и модулей семейств кривых. В настоящее время эти методы играют важную роль в теории соболевких функциональ-

Mod(£T, E+) < Фп ( —i- —Л . (1.2.18.4)
diaray(i?_)diamg(+))
1.2.19. При изучении вопросов, связанных с приведенным модулем (в IV главе данной работы), нам будет удобно использовать также и функцию Греча Фп(й) = mod(G(s)) - конформный модуль кольца Греча с пар-метром s 6 (1,+оо). Связь между функцией Тейхмюллера и функцией Греча выражается равенством
[ад]2=ад -1) (1.2.19.1)
(см. [117], лемма 7.20, стр. 88). При этом (см. [117], (7.21), стр. 88) величина Ф„(б‘) — Ln s строго монотонно возрастает при s —> оо и существует конечный предел
lim [Ф„(s) — Ln s] = А„, (1.2.19.2)
S—>+00
где А,г - та самая константа, о которой говорится в (1.2.17.2).
Для получения нижних оценок конформной емкости обобщенного конденсатора часто используется следующее утверждение, которое Асеев в своих статьях называет леммой Вяйсяля.
1.2.20. Теорема (Лемма Вяйсяля [114], теорема 10.12, стр. 31).
Пусть 0 < г < R < +оо и D есть шаровой слой D — {х £ Rn : г <
|ж| < А}. Пусть непересекающиеся компактные множества Е~ и Е+ таковы, что для любого t е {r,R) сфера {х : |ж| = г} имеет непустое пересечение с каждым из множеств Е~ и Е+. Тогда
Сар(Е~, Е+; D) > сп Ln-, (1.2.20.1)

где полоэюителъная константа Сп зависит только от п и может быть
вычислена по формуле
" /*оо *1 1—л
/ при п > 3 (1.2.20.2)
J о J