Гармонический анализ на некоторых бесконечномерных классических группах

• Автор: Осиненко, Антон Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 100 с.

Содержание
Введение

1 Гармонический анализ на бесконечномерной унитарной группе

1.1 Характеры и граф Гельфанда-Цетлина

1.2 Конструкция представлений Тгт

1.3 Коммутант и разложение на блоки

1.4 Построение вектора урдгз

1.5 Цикличность вектора урдгз

1.6 Доказательство лемм 1.5.5, 1.5.6 и 1.5.

1.7 Дизъюнктность

2 Многомерные многочлены Якоби и интеграл Сельберга

2.1 Ветвление многомерных многочленов Якоби, когерентные
системы мер, пространство Я
2.2 Z-мepы
2.3 Формулировка основного результата. Редукция к
вырожденному случаю
2.4 Начало доказательства для вырожденного случая
2.5 Интеграл типа Каделла
2.6 Окончание доказательства для вырожденного случая
3 Гармонический анализ на бесконечномерной унитарно-симплектической группе
3.1 Характеры и граф Якоби V
3.2 Представления Тг, коммутант и разложение на блоки
3.3 Построение вектора урд
3.4 Цикличность вектора урд
3.5 Доказательство лемм 3.4.4, 3.4.5 и 3.4.
Введение
Одной из задач гармонического анализа на топологической группе является разложение наиболее естественных представлений данной группы по неприводимым. В случае компактной группы К и регулярного представления в пространстве Ь2(К) такое разложение было получено в 1927 году Вейлем и Петером. Рассматриваемые в диссертации бесконечномерные унитарная и унитарно-симплектическая группы не являются даже локально

компактными, а двойственные к ним пространства имеют бесконечную размерность.
Бесконечномерная унитарная группа [/(оо) является индуктивным пределом конечномерных унитарных групп, естественным образом вложенных друг в друга. Все неприводимые представления этой группы не могут быть классифицированы разумным образом, поэтому мы будем рассматривать унитарные представления группы [/(оо) х [/(оо), обладающие выделенным циклическим II (оо)-инвариантым вектором. Такие представления называются сферическими: множество сферических представлений пары (С, К) = (^(°°) х и(оо), [/(оо)) находится во
взаимно-однозначном соответствии с множеством характеров группы II(оо) - нормированных центральных положительно определенных функций на [/(оо), при этом неприводимым сферическим представлениям соответствуют экстремальные характеры (т. е. крайние точки множества всех характеров). Таким образом, задача разложения данного сферического представления по неприводимым сводится к задаче разложения характера этого представления по экстремальным. Множество всех экстремальных характеров группы [/(оо) было описано Войкулеску в работе [42], они параметризуются некоторым множеством Л С К4оо+2, точное определение которого будет дано ниже. Ольшанским в работе [34] было доказано, что для любого характера х группы [/(оо) существует и единственна такая вероятностная мера Р на топологическом пространстве Г2, что
Эта мера называется спектральной мерой характера % (или соответствующего ему сферического представления).
Группа [/(оо) не является локально компактной, и инвариантной меры на ней нет, поэтому стандартная конструкция бирегулярного представления не применима. Естественные представления могут быть получены двумя основными способами. Во-первых, можно для каждого N вложить бирегулярное представление Г^дг группы [/(/V) х [/(./V) в представление В^дг+1, и взять индуктивный предел этих представлений. Предельное представление существенно зависит от цепи вложений jм : >
Кеёлг+1, а таких вложений слишком много, поэтому основной трудностью этого способа является правильный выбор вложений. Во-вторых, можно вложить (7/К в некое большее пространство (7/К, на котором также будет действовать группа (7, с инвариантной или квазиинвариантной мерой т. Тогда стандартным образом можно определить представление группы (7 в пространстве Т2((7/К,т). Основной трудностью этого метода является необходимость угадать подходящее объемлющее пространство, а также

указать на нем подходящую меру.
Вторая конструкция впервые была реализована в работе Пикрелла [38]. Он рассмотрел пару б = НшС/(2А^), К = Нти(М) х [/(/У) и построил объемлющее пространство С/К как проективный предел грассманианов, а также определил на этом пространстве семейство мер т8, по которым строятся естественные представления пары (б, К). В дальнейшем Неретин в работе [30] перенес эту конструкцию на случай всех десяти (б, У)-пар, которые являются индуктивными пределами десяти классических серий компактных римановых симметрических пространств.
Для бесконечной симметрической группы Б (ос) обе конструкции были реализованы в работе Керова, Ольшанского и Вершика [23]. В этой работе строится вложение 5(оо) в пространство так называемых виртуальных перестановок ©, которое является проективным пределом конечных симметрических групп Бп при отображениях рп : Бп —> 5П_х, состоящих в удалении п из цикла, который его содержит. Это пространство не является группой, но группа Б(ос) действует на нем с двух сторон в силу того, что рп эквивариантно относительно двустороннего действия Б(п — 1). Кроме того, © компактно как проективный предел компактных множеств. На Б(оо) существует мера (“считающая”), инвариантная относительно действия Б(оо) х 5(оо), однако эта мера не является конечной, а соответствующее бирегулярное представление является неприводимым. В свою очередь на © существует “честный” аналог меры Хаара — вероятностная мера рх, инвариантная относительно действия 5(оо) х 5(оо). Кроме того, в работе [23] построено целое семейство мер /щ, зависящих от вещественного параметра £ > О, деформирующих меру р. Эти меры являются инвариантными относительно действия группы ^(оо), вложенной в 5(схз) х 5(00) по диагонали, и квазиинвариантными относительно действия всей группы Б(оо) х 5(оо), что дает возможность определить семейство представлений Тг с помощью следующей стандартной конструкции. Если группа С действует справа на пространстве X с мерой р, квазиинвариантной относительно действия группы, то в пространстве Ь2(Х,р) можно определить однопараметрическое семейство унитарных представлений группы С следующим естественным способом:
где — производная Радона-Никодима. Отметим, что представления Тг
имеют выделенный 5(оо) = diag(5(oo) х 5(оо))-инвариантный вектор — функция, тождественно равная единице на ©.
При || —Э оо представления Тг сходятся к неприводимому бирегулярному представлению Б(оо) х 3(оо) в пространстве ^(^оо)), упомянутому выше.

относительно меры Лебега на П(р, 1 < I < р, 1 < ^ < д, 1 < к < г, 1 < I < в
в случае неотрицательных дивив пределах:
1 < г < р, 1 < ^ < д, 1 < к < г, —д--1 < I < в
в случае отрицательного д (случай отрицательного в рассмативается аналогично), а У(х) для конечного набора чисел х — х,...,хп обозначает определитель Вандермонда:
У{х)= ]^[ {Хг-Хз).
Замечание 1.4.6. Так как для любых г и удовлетворяющих условию Иег + Яегу > -1/2, агш(Х) = а{г+к){и1_к)(Х + {к,... ,к)), то
1рдгв{Х) 1р(д+к)г(в—к){^ Т ■ ■ ■ 1 &))■
Прежде чем доказывать теорему, докажем сначала несколько лемм. Обозначим через СТдг(р) С СТГдг множество таких сигнатур Л € СТГдг, что ^1 > ^2 ^ • О ^ 0, Ар+1 = • • • = Адг = 0.
Лемма 1.4.7. Функция а_ рдя(А) = (-1)«Я^ о;дг 01тр А удовлетворяет условию
М-р, 0; ТУ (А) = ^ ^ О--р,0;Аг(^')(Ся-Сл)-р, 0; (Д-^)
где N > 2р, X £ СТдт(р), г/ 6 СТдт+Др) и

■^-р,0;№
(ДГ - рДДТУ - р + l)ip • ■ • (TV - 1)Т
Замечание 1.4.8. Функция aZ}W.дг и скалярное произведение были определены ранее только при Rez + Rea; > — Однако, переходя к пределу при z —> —р и ш = 0 в выражении (1-4), мы получаем функцию а_р.о;дг, определенную выше, и поэтому сохраняем для нее обозначение агм.^.
Доказательство. В силу равенства 1.11 равенство 1.18 легко переписывается в следующем виде:
(ТУ - 2р)! ул Dimp vyr (р + 1 + Af - гуУ~хд
(TV-р)! У—* Dimp A-*--MTV + l + Aj — ' 1 ‘ ]
1/^Х г=1 4
Для доказательства формулы (1.19) мы воспользуемся теоремой Густафсона (см. [17, Theorem 1.11]).