Критерии равномерной обратимости семейств регулярных аппроксимаций интегральных операторов сингулярного типа

• Автор: Чумак, Ирина Валентиновна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 132 с.

ГЛАВА 1. Аппроксимации сингулярного интегрального
оператора с непрерывными коэффициентами на
вещественной оси
§1.1. Предварительные сведения
§1.2. Основные результаты
§1.3. Приложения теоремы
ГЛАВА 2. Аппроксимации сингулярного интегрального оператора с кусочно-неперывными коэффициентами
на вещественной оси
§2.1. Предварительные сведения
§2.2. Промежуточные результаты
§2.3. Случай двух неинтегрируемых особенностей
§2.4. Случай сингулярной особенности при х
§2.5. Аппроксимации на «большом» отрезке
ГЛАВА 3. Аппроксимации бисингулярного оператора
§3.1. Случай аппроксимаций бисингулярного оператора с
непрерывными коэффициентами на контуре
§3.2. Аппроксимации бисингулярного оператора с кусочнонепрерывными коэффициентами на плоскости
ЛИТЕРАТУРА

Диссертация посвящена изучению вопроса о применимости к операторам типа сингулярных приближенных методов по некоторым классам сильно аппроксимирующих их операторов. В частности, рассматриваются семейства, возникающие при замене оператора сингулярного интегрирования семействами интегральных операторов с ограниченными ядрами.
Первые работы по теории сингулярных интегральных уравнений и краевых задач теории функций комплексного переменного появились в 40-х годах 20-го века. Теория сингулярных интегральных операторов получила свое дальнейшее развитие в 60-х годах, связанное с применением методов функционального анализа. Практически одновременно с появлением первых работ по сингулярным интегральным уравнениям возник вопрос о методах их приближенного решения. Он приобрел еще большую актуальность, когда выяснилось, что значительная часть этих уравнений, встречающихся в приложениях, не может быть решена в замкнутой форме. Основная идея заключалась в предварительной “аппроксимации” уравнения и последующем точном решении “аппроксимирующего” уравнения. Последнее конструировалось таким образом, что его решение сводилось к рассмотрению конечной системы скалярных уравнений. Среди многообразия изучавшихся приближенных процессов особенно удобными оказались те из них, которые приводили к решению конечных систем линейных алгебраических уравнений. При этом вначале, большое внимание уделялось изучению полиномиальных аппроксимационных методов, а при доказательстве их устойчивости широко использовались различные факторизации рассматриваемых операторов. Таким способом была доказана устойчивость ряда полиноми-

альных приближенных методов для сингулярных интегральных уравнений с достаточно гладкими коэффициентами.
Основные достижения данного периода отражены в монографиях и обзорных статьях В.В. Иванова, И.Ц. Гохберга и И.А. Фельдмана,
3. Пресдорфа и Б. Зильберманна, В.А. Золотаревского. В то же время, становится ясно, что методы доказательства устойчивости, основанные на аналитической факторизации, не позволяют достигнуть существенного прогресса для уравнений с разрывными коэффициентами.
Теория одномерных и многомерных сингулярных интегральных уравнений изложена в известных монографиях Б.В. Хведелидзе [21],
Н.И. Мусхелишвили [12], Ф.Д. Гахова [2], С.Г. Михлина [11], В.В. Иванова [8], И.Ц. Гохберга и И.А. Фельдмана [4].
Одним из наиболее эффективных методов построения качественной теории фредгольмовости операторов типа сингулярных является локальный принцип И.Б. Симоненко. В работе [23] была построена общая теория так называемых линейных операторов локального типа и получены приложения этой теории к одномерным и многомерным сингулярным интегральным операторам для решения задачи о нетеровости (фредгольмовости) операторов типа сингулярных. Рядом авторов были построены обобщения и модификации этого метода исследования, позволившие с одной стороны, усилить получаемые с его помощью результаты, а с другой - расширить область его применения. В частности, A.B. Козаком в работе [9] была предложена схема анализа сходимости проекционных методов с помощью локального принципа. Эта схема сводила решение задачи к вопросу об обратимости элемента некоторой банаховой алгебры. Последняя задача анализировалась с помощью модифицированного подходящим образом, лцкального метода И.Б. Симоненко. В указанной работе A.B. Козаком был введен идеал, обозначенный у нас через 30. Дальнейшая модификация схемы из [9] имеется в

собственными замкнутыми двусторонними идеалами в алгебре 21, и справедливо равенство 30 = 3,п3,.
Предложение 2.3.2. Для семейства {Ве Л,} е21 следующие условия равносильны:
1) семейство {Вс Ы:е> 0,И>0} асимптотически равномерно обратимо;
2) смежный класс {5е Л,} + 30 обратим в 21 /30.
Предложение 2.3.3. Пусть {Ве Л,} е 21. Элемент {Д ,у} + 30 обратим
в 21 /30 тогда и только тогда, когда обратимы элементы
{Д£,„} + ЗДе 21/3,) и {56>„} + 3*(е21/3*).
Предложение 2.3.4. Пусть {/?с Л,} е 21, 5* - Пт Ве ы = В. Для семейе,Я
ства {йе Л,} следующие условия равносильны:
1) семейство {Вг М :е > 0,Ы > 0} асимптотически равномерно обратимо;
2) обратим оператор В и смежный класс {5еЛ,} + 3* обратим в фактор-алгебре 21 /3*.
Учитывая, что семейство {Д. = {а1 + ЬЗсМ :г> 0,И > 0} принадлежит алгебре 21, получаем, что наша задача сводится к анализу обратимости класса {Д^ + З* в фактор-алгебре 21/3*. Для этого воспользуемся локальным методом.
Для обозначим через 9Д множество всех непрерывных на М
функций, обладающих следующими свойствами: для всех х е К 0<(р(х)<1 и ф“'({1}) является некоторой окрестностью точки £ в К.