Усеченные операторы Теплица и факторизации псевдопродолжимых функций

• Автор: Бессонов, Роман Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 95 с. : ил.

Содержание
1 Введение
2 Общие сведения и предварительные результаты
3 Доказательство теоремы 1
4 Доказательство теоремы 2
5 Доказательство теоремы 3
6 Доказательство теоремы 4
7 Доказательство теоремы 5
8 Доказательство теоремы 6
9 Доказательство теоремы 7
10 Доказательство теоремы 8
Список литературы

1 Введение
1.1 Усеченные операторы Теплица
В пространстве Ь2 на единичной окружности Т комплексной плоскости С рассмотрим подпространство Н2, полученное замыканием множества аналитических полиномов. Это подпространство называется пространством Харди (классическое определение см. в параграфе 2.1); оно состоит из функций / 6 I2, отрицательные коэффициенты Фурье которых равны нулю: /(п) = (/, гп) = 0 при п < 0. Обозначим через Р+ ортогональный проектор на подпространство Н2 в пространстве Ь2. Оператором Теплица с символом <р € 1Т° называется отображение
Т„ : / ^ Р+Ы), } € В2. (1.1)
Теория операторов Теплица в пространстве Харди хорошо развита и имеет множество приложений. Основные результаты этой теории можно найти в книге [17]. Операторы Теплица рассматриваются и в других пространствах аналитических функций, например, в пространствах Бергмана, Пэли-Винера, Баргмана-Фока, Дирихле; см. [СО, 51, 15, 52] и др. В настоящей диссертации исследуются свойства операторов Теплица, действующих в так называемых модельных пространствах. Такие операторы называются усеченными операторами Теплица.
Модельные пространства суть инвариантные подпространства оператора обратного сдвига 5* : / ВЯо) ^ децСТВуЮщег0 в пространстве Харди В2. О теории модельных пространств см. книгу [47]. Из теоремы А. Берлинга [16] следует, что замкнутое подпространство Е С В2 инвариантно относительно оператора 5* тогда и только тогда, когда Е = Кд для некоторой внутренней функции в, где
К2в = Я2 © вВ2 = {/ £ Я2 : (/, 9д) = 0 для всех д £ Я2}.
Функция в € В2 называется внутренней, если в(г) = 1 почти всюду по мере Лебега на окружности Т. Пусть Рд обозначает ортогональный проектор на Кд в пространстве Ь2. Усеченным оператором Теплица с символом £ Ь2 называется плотно заданный оператор
Ау-./^РвЫ), /£Я2ПЯ°, (1.2)
действующий в пространстве Кд. В случае, когда оператор АЧ1 ограничен на своей области задания, будем считать его продолженным по непрерывности на все пространство Кд.

Операторы (1.2) естественно рассматривать как усечения “больших” операторов Теплица (1.1) на меньшее подпространство. Например, матрица Теплица размера п х п, получающаяся из бесконечной матрицы {(Ту2*, г1)} оператора Т_р выбором первых п строк и п столбцов, порождает усеченный оператор Теплица А{р (с тем же символом ф) в конечномерном пространстве К%, где в — гп. Другой пример: известно, что операторы Винера-Хопфа свертки на полупрямой [0, +оо) унитарно эквивалентны операторам Теплица (1.1). Их усечения, т.е. операторы Винера-Хопфа на отрезке [0, а], унитарно эквивалентны усеченным операторам Теплица в пространстве К%а, где 5° (г) = ешх — внутренняя функция в верхней полуплоскости. Подробнее об этих и других примерах см. пункт 2.4.2.
Усеченные операторы Теплица с ограниченными аналитическими символами естественным образом возникают в скалярном случае модели Б.Секефальви-Надя-Ч.Фойаша для сжатий в гильбертовом пространстве при построении #°°-исчисления модели исследуемого сжатия. Этим объясняется интерес к таким операторам и тот факт, что они хорошо изучены (см., например, книгу [47]). С другой стороны, до недавнего времени имелось сравнительно мало информации об усеченных операторах Теплица с Т2-символами общего вида. В статье [55], опубликованной в 2007 году, Д.Сарасон исследовал общие свойства таких операторов и поставил ряд вопросов, определивших дальнейшее развитие в этой области [13, 63, 24, 25, 36, 57, 38]. Оказалось, что усеченные операторы Теплица тесно связаны с мерами Карлесона для модельных пространств, возможностью слабой факторизации псевдопродолжимых функций, условиями П.Ахерна и Д.Кларка существования угловых производных внутренних функций, свойствами модельных пространств, отвечающих однокомпонетным внутренним функциям.
Основное содержание настоящей диссертации связано с ответами на три вопроса из вышеупомянутой статьи [55]. В параграфах 1.2, 1.3 приводятся формулировки этих вопросов и ответы на них. В параграфе 1.4 сформулированы результаты, касающиеся свойства гиперрефлексивности так называемого модельного оператора, то есть усеченного оператора Теплица с символом <р = г. Параграф 1.5 посвящен теме, тесно связанной с усеченными операторами Теплица: вопрос}' о существовании волновых операторов на сингулярном спектре.

2.4.3 Ограниченный усеченный оператор Теплица без ограниченного символа
Приведем два способа построения усеченных операторов Теплица, не имеющих ограниченных символов. Такие операторы не могут быть получены проекцией на пространство Кд ограниченных операторов Теплица, действующих в пространстве Харди. В самом деле, любой ограниченный оператор Теплица : Я2 —» Я2 имеет единственный символ у? 6 Т00,
Конструкция из статьи [13]. Достаточно предъявить усеченный оператор Теплица, действующий в пространстве Кд, для которого нельзя выбрать символ из пространства Ьр, где 2 < р < оо. Действительно, так как на единичной окружности Т имеет место включение Ь°° С Ьр, у такого оператора не будет и ограниченного символа. Возьмем произведение Бляшке в с множеством нулей Л и точку Л на окружности Т, такие, что воспроизводящее ядро к пространства Кд лежит в пространстве Ь2, но не лежит в пространстве Ьр. Пару в, А с указанным свойством можно построить с помощью теоремы П.Ахерна и Д.Кларка 2.1: достаточно одновременного выполнения условий
подробнее см. [13]. Рассмотрим оператор Ач> = к (8> к. Несложно вычислить символ уз Є Кд + Кд этого усеченного оператора Теплица:
в точке А. Непосредственно проверяется, что свойство к Ьр влечет свойство уз ^ Ьр. Предположим, что оператор А^ имеет некоторый символ у?! £ Ьр. Два символа из пространства Ь2 порождают один и тот же усеченный оператор Теплица в пространстве Кд тогда и только тогда, когда их разность лежит в пространстве вН2 + вН2, см, [55]. Проектор <5 на подпространство Кд + Кд вдоль подпространства вНр -I- 9Нр ограничен в пространстве Ьр. Следовательно, .4^ = и разность ср — лежит в подпространстве 9Н2 + вН2. Но эта разность лежит также и в подпространстве Кд + Кд, являющемся ортогональным дополнением до подпространства вН2 + 9Н2. Следовательно, уз = фузь Однако, последнее равенство противоречит тому факту, что уз ^ Ьр, в то время как £ Ьр. Значит, усеченный оператор Теплица к ® к не имеет ограниченных символов.
Конструкция, использующая меры Кларка. С помощью теоремы 3 можно построить дальнейшие примеры модельных пространств Кд, в ко-
причем ЦТ^Ц = ІМІОО, см. [19].
уз = гвкв^, где к% обозначает воспроизводящее ядро пространства Кд,