Асимптотические свойства рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости

• Автор: Белоус, Татьяна Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 103 с.

Оглавление
Введение

0.1 Исторические сведения

0.2 Предварительные результаты и постановка задач

0.3 Содержание главы 1

* 0.4 Содержание главы 2

0.5 Содержание главы

1 Асимптотика максимального члена адамаровской композиции двух рядов Дирихле

1.1 Лемма типа.Бореля - Неванлинны •

1.2 Доказательство теоремы 1.1

1.3 Доказательство теорем 1.2 и 1.

2 Оценка на кривых функций, представленных в » полуплоскости рядами Дирихле
2.1 Необходимые сведения. Уточнение теоремы о двух константах
2.2 Доказательство теоремы 2.
2.3 Доказательство теорем 2.2 и 2.
3 Оценка суммы ряда Дирихле, сходящегося лишь в полуплоскости, на луче
3.1 Доказательство теоремы 3.
3.2 Доказательство теоремы 3.
4 Литература

Введение
0.1 Исторические сведения
С конца 19 века, а именно после выхода в свет известных работ Ж. Адамара стало развиваться новое направление в те-* ории функций: изучение асимптотических свойств целых или
аналитических в единичном круге функций в зависимости от поведения их тейлоровских коэффициентов. Огромный вклад в развитие этого направления внесли такие известные математики, как Э. Борель, А. Виман, Ж. Валирон, Д. Пойа и другие.
Еще в 1892 году Ж. Адамар указал формулы, выражающие порядок и тип целой функции через коэффициенты Тейлора [1]. Аналогичная задача для аналитических в единичном 0 круге функций в терминах порядка и типа была решена М.
Фудзивара [2], Н.В. Говоровым [3] и другими (см., например, в [4]).
Непосредственным обобщением степенных рядов являются ряды Дирихле с положительными возрастающими до бесконечности показателями.
Для изучения роста целых функций, представленных рядами Дирихле, обычно пользуются понятиями Я — порядка и Я — типа. Эти понятия были введены Ж. Риттом. Им же были установлены формулы для вычисления этих величин через коэффициенты ряда Дирихле [5].
Рост функций, представленных рядами Дирихле, абсолютно сходящимися в полуплоскости, в терминах обычного по-

рядка и обычного типа исследовали Е. Дагене [6], В. Бойчук [7], К. Нандан [8], [9], Ю. Шиа-Юн [10].
В конце 60-х годов для изучения роста целых или аналитических в единичном круге функций М. Н. Шеремета ввел понятия так называемых обобщенных порядков. Задача, связанная с применением обобщенных порядков к изучению роста рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости, была расмот-рена в [11]. Позже в терминах Я - порядка и Я - типа рост таких рядов в зависимости от коэффициентов был исследован А.М. Гайсиным в работах [12] - [16], а также в работах О.Б. Скаскива и В.М. Сорокивского [17], [18].
В начале 20 века с целью изучения связи между максимумом модуля целой функции и максимальным членом ее степенного разложения, а также поведения функции и ее производных в окрестности точки максимума модуля А. Виман и Ж. Валирон разработали метод, который впоследствии стал называться методом Вимана - Валирона. При помощи метода Вимана - Валирона решались также следующие задачи теории аналитических функций: исследование асимптотических свойств целых функций, представленных лакунарными степенными рядами, оценка роста решений дифференциальных уравнений и т.д.
В 1929 году была опубликована статья Д. Пойа [19], в которой помимо доказательств фундаментальных теорем об асимптотических свойствах функций, заданных лакунарными степенными рядами, был поставлен ряд задач. Исследования, начатые Д. Пойа, были подхваченны многими математиками.

причем • оо, то при а —> 0— еме некоторого множества е С [—1,0), нулевой нижней плотности (де — 0), справедливо равенство
Замечание. В теореме А при выполнении более сильного условия
равенство (0.38) имеет место вне некоторого множества е С [—1,0) нулевой плотности (Бе = 0/
В главе 3 диссертации доказаны более общие результаты, а именно показано, что при <т —> 0— вне некоторого множества е С [—1,0) равенство (0.38) верно при менее ограничительных условиях.
Сформулируем основные результаты данной главы.
Теорема 3.1. Пусть <р € Ь, т € где ги(х) = Л^еж). Если функции р и ги согласованы, т.е.
максимальный член ряда (0.37) удовлетворяет условию
1п М(сг) = (1 + о(1)) 1п Fij7)|,
(0.38)

М(а) = эир |.Р(сг + г£)|.
|(|<оо
1п р{а)