Функциональные уравнения гомологического типа

• Автор: Шульман, Екатерина Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1994
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 101 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ФЕДЕНИЕ
ЖВА 1 ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ
§1. Теоремы сложения и функциональное уравнение
Леви-Чивиты
§2. Равномерно-сегментное движение
§3. Теоремы сложения для векторнозначных и операторнозначных функций
§4. Тангенциальные теоремы сложения
ГЛАВА 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП И УСТОЙЧИВОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§5. Предварительные сведения и обозначения
§6. Аппроксимация в С-модулях
§7. Неизометрические представления и неограниченные функции
ГЛАВА 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЯХ
§8. Теорема сложения для обобщенных функций
§9. Обобщение теоремы Березина-Карпелевича
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Классические функциональные уравнения
={(х) + | (у) (1)

{ (х*р= ( (X) ((р (2)
привлекали и привлекают постоянное внимание многих математиков, начиная с работ Коши, установившего, что непрерывные их решения -это, соответственно, линейные функции и экспоненты. Среди направлений, в которых эти результаты обобщались, можно выделить следующие:
1) рассмотрение функций на абстрактных (топологических) группах и полугруппах,
2) рассмотрение измеримых решений с ослаблением условий до выполнимости почти всюду,
3) изучение свойств неизмеримых решений,
4) ограничение области определения или области выполнения соответствующих равенств (в частности, на открытые подмножества в группах),
5) изучение соответствующих неравенств (полуаддитивные функции),
6) векторнозначные решения (сюда относятся, в частности, операторнозначные решения на уравнения (2), изучение которн* составляет теорию полугрупп операторов, имеющую совершенно необозримый спектр приложений).
Достаточно полный обзор этих направлений содержится в работах Иосида [1], Хилле и Филлипса 123, Голдстейна [3].

Сравнительно недавно стали рассматриваться вопросы устойчивости уравнений (1) и (2), т.е. свойства функций, которые, в том или ином смысле "почти" удовлетворяют уравнениям (спрашивается: верно ли, что они "мало" отличаются от решений уравнений?). Первые результаты здесь были получены в 1941 году Хайерсом (41 который, отвечая на вопрос Улама, показал, что непрерывное отображение | X “* У ( где X > У банаховы пространства), удовлетворяющее условию II { (х-) (х) <6 , не
более, чем на С отличается от линейного отображения. Позднее Бейкер [5] доказал, что для непрерывных отображений полугруппы в банахову алгебру условие
бар || { (ху) -[(х)|ф|| эквивалентно условию

40р II ( (X) - ([ (X) ||

где (| гомоморфизм. Отметим различие в этих результатах: прежде всего, речь в них идет о разных классах функций, кроме того, второй не носит "количественного" характера. Перенести результат Хайерса на произвольные полугруппы, как выяснилось, невозможно [6 1, так же, как и доказать его "бейкеровскую" модификацию
(ііар1||(хр-|(х)ф)||<~ => мр I {00(*)|Н-> даже для скалярнозначных функций. Правильний клаоо полугрупп здесь выделяется условием аменабельности. Основной результат для аменабельных групп (и аменабельных банаховых алгебр, соответственно) был получен Д.Кажданом [7] и Б.Джонсоном [8 ]. Наиболее общие результаты можно найти у А.С.Штерна [6,93.

IV) = + р(е/1~еЛ) ,
Рассмотрим каждый случай подробно.
Тогда (2.6) можно переписать так:
і (I) а(5) -0.(0 г Вр Ь - ЗрбО,
откуда, согласно Следствию 2.4, 6(04ЛЧ и аЮ-аЛСаЦ При. этом коэффициенты (Хі , Ьі должны удовлетворять условию:
а Лі. -Еь аі = йр (2/г)
“ р|(еЧО) = иа)=аЦ%аЦ
х= (иО +вА (:
Ввиду (2.7) і линейно выражается через X и Ч :
у <и(|ж)г +йі(_рху).
Переходя к новым координатам + = С1ОС1+С11
получаем уравнение параболы
СьХь + с*. *о.іХІ + 0,1#*. ,
II) 4|> (О = рО С с Тогда (2.6) дает
с(ем-1)(еХ5-0-сСе>1-0(е1) = А(1)й.Сб)-о.(05)
' I I
Принимая во внимание Следствие 2,4, (заключаем» что
зе«'&а>ві(енч)+ві(«гмЧ) , у - 2.0.СО = ас СеЛ1- 0 + а-Ц'О ,
°а “(нО-і
Выражая Є и £ линейно через. X и и перемножая,