Спектральный анализ функций и асимптотическое поведение полугрупп операторов

• Автор: Калужина, Наталья Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 91 с. : ил.

Оглавление
Список обозначений
Введение
1 Спектральный анализ ограниченных функций
§1.1 Введение в топологические группы. Локально компактная
абелева группа
§1.2 Банаховы модули и представления групп
§1.3 Определение спектра функций
§1.4 Спектр Берлинга векторов в банаховых модулях
§1.5 Носитель обобщенного преобразования Фурье
§1.6 Спектр Карлемана
§1.7 Локальный спектр векторов
2 Теорема Берлинга для функций с существенным спектром из однородных пространств
§2.1 История вопроса и постановка задачи
§2.2 Доказательство теоремы Берлинга для функций с существенным спектром из однородных пространств
3 Медленно меняющиеся на бесконечности функции и стабилизация решений параболических уравнений
§3.1 Понятие медленно меняющейся на бесконечности функции
§3.2 Свойства медленно меняющихся на бесконечности функций
§3.3 Определения Р. Шмидта и Ю.Л. Далецкого - М.Г. Крейна
§3.4 Приложение к стабилизации решений параболических
уравнений
§3.5 Качественные свойства слабых решений задачи Коши
§3.6 Задача Неймана для уравнения теплопроводности в Ь2[0,1]

Список обозначений
К - поле вещественных чисел;
Ж+ - множество действительных чисел [0; +оо);
С - поле комплексных чисел;
Т={А€С:[А| = 1} - единичная окружность (абелева группа комплексных чисел, модуль которых равен единице);
X - комплексное банахово пространство;
Н - гильбертово пространство;
Еп<1Х - банахова алгебра эндоморфизмов (линейных ограниченных операторов) банахова пространства Х
(7 - локально компактная абелева группа;
О - двойственная локально компактная абелева группа непрерывных унитарных характеров группы (7;
Z - группа целых чисел;
Т : й —э Епс1Х - Представление локально компактной абелевой группы С операторами из Епс1Х;
Е - некоторое банахово пространство;
1Ж(С, Е), р £ [1, оо) - банахово пространство определенных на локально компактной абелевой группе С измеримых но Бохнеру относительно меры Хаара на С (классов) функций со значениями в банаховом про-

странстве Е, суммируемых со степенью р (с отождествлением классов эквивалентности), с нормой ||х||р Б°°((7, Е) - банахово пространство существенно ограниченных функций, определенных на локально компактной абелевой группе (7 со значениями в банаховом пространстве Е, с нормой ЦжЦоо = шчивир Цх^Ц^;

Сь(С,Е) - подпространство непрерывных функций из 1/°°((7, Е);
Сь,и{С, Е) - подпространство равномерно непрерывных функций из Ь°°(С,Е)-,
Со(<7, Е) - подпространство непрерывных функций, убывающих на бесконечности, из Е);
АР(<7, Е) - подпространство почти периодических функций Бора из
Ь°°(С,Е);
8Р(С,Е), где р 6 [1,оо) - пространство Степанова измеримых на
(7 локально суммируемых функций, для которых конечна величина
( 1,Р
||х||яр = вир I/ ||ж(й -4- д)\рЕ(1д ) , где V - некоторая компактная

окрестность нуля группы (7.

Поскольку < F,(p >= 0, то и < S(X)F, ip >— О, VA Е R, а значит, и / * х = 0, где функция / Е Ь1(М), вообще говоря, произвольная со свойствами: / = р Е Jzf(R) и suppf с С/(Ло).
Покажем теперь, что f * х = 0, для любой / £ L*(R) со свойством suppf С U(Ао). Пусть П(Ао) = [а, Ь]. Введем в рассмотрение множество:
фа,6] = {/ £ ^(R) : «мрр/ С [а,Ь]}.
Заметим, что Цад образует замкнутый идеал в алгебре ^(R), т.к. для / * 9 — f'g и supp(f * д) С suppf С [а, Ь] для любой функции д Е Б](М), Т.е. f * д € I[a,b],Vg £ LR).
Введем также множество /1% = {р Е =Sf(R) : suppp С [а, 6]}. Отметим, что не является идеалом в LX(R). Рассмотрим замыкание множества ф0а6] и покажем, что 1^аЬ] = 1[ад. Очевидно, что С 1[ад.
Предположим противное: пусть ф фад. Тогда по теореме Хана-Банаха (см. [40]) найдется такой функционал £ Е T°°(R), что £ аннулирует и существует такая функция / Е 1[ад, что / f(r)/(r)dr ф 0.

Поскольку ф° 6j инвариантно относительно сдвига, то для любой функции <Р Е ф° выполнено
0 = J <р(т)£{т)с!т = J p(t + т)£(т)<7г, Vt Е R.

Таким образом, справедливы равенства:
/ p(t + т)£(т)Дг = f
£(-£) , t е R.
Итак, Iр*£ — 0 для любой р Е I? Ъу Далее, из того, что J f(t)£(t)dt ф
0 для некоторой / Е 1[ад, следует / f(-t)£{t)dt ф 0, т.е. (/ * £)(0) ф 0,