Исследование сходимости и порядков сходимости некоторых семейств сингулярных интегралов

• Автор: Юсифалиев, Юсиф Кочари Оглы
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 126 c. : ил

ГЛАВА I. ПОРЯДОК СХОДИМОСТИ СЕМЕЙСТВ СИНГУЛЯРНЫХ

ИНТЕГРАЛОВ В ТОЧКЕ И В СРЕДНЕМ

§ I Вспомогательные предложения

§ 2 О порядке сходимости последовательности

сингулярных интегралов типа свертки.с

бесконечными пределами

§ 3 Порядок сходимости сингулярных.интегра

лов с ядрами^общего вида

§ 4 0 порядке сходимости многомерных сингулярных интегралов с радиальным ядром

Глава II. СХОДИМОСТЬ ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СЕМЕЙСТВ

СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

§ 5 0 сходимости семейства сингулярных интегралов с двумя параметрами
§ 6 Двупараметрические семейства сингулярных интегралов, ядра которых имеют горбатую мажоранту
§ 7 0 сходимости сингулярных интегралов,зависящих от двух параметров, к.недифференцируемым функциям
ЛИТЕРАТУРА

Настоящая диссертация посвящена исследованию сходимости и скорости сходимости некоторых классов, так называемых, сингулярных интегралов. При этом термин "сингулярный интеграл", в отличие от "особых"интегралов, употребляется применительно к интегральным операторам, широко использующимся в теории рядов Фурье, теории ортогональных рядов и в общей теории функций ( см. [I] , [2] , [3] , [24] и[25]) •
Одним из основных направлений классической конструктивной теории функций является построение простейших линейных агрегатов, приближающих функции из данного класса в различных фиксированных точках, или же в нормах рассматриваемых пространств.
К числу таких линейных агрегатов относятся интегралы вида
^ (X
где - приближаемая функция, (а) £) - некоторый конечный или бесконечный промежуток вещественной ОСИ, ^ > О - вещественный параметр, а - функция двух переменных { ид , зависящая от параметра 3 и обладающая некоторыми характерными свойствами.
Интегралы вида (0.1) в теории функций называются сингулярными, а функция |^(Ч;,а)- ядром сингулярного интеграла. Это название, видимо, связано с тем, что в конкретных случаях ядра неограниченно растут при в точке •Ь=эс
Первые результаты, относящиеся к вопросам сходимости интегралов (0.1) к значению у (Зх) при фиксированном X и при

, были получены еще в 1909 году А.Лебегом (см.напр. [24], стр.261), который исследовал сходимость в точках непрерывности суммируемой функции ^(х). Отметим, что эквивалентное утверждение было получено и Хааром (см.[1]). В дальнейшем П.И.Романовский[28] исследовал вопрос о представлении суммируемой функции сингулярным интегралом (0.1).в, так называемых, о1 - точках, т.е. в точках, в которых она является производной своего неопределенного интеграла, а Д.К.Фаддеев - в ее
точках Лебега, т.е. в таких точках X , в которых К.
1т ту с14; =о
К->0 К о
Указанные результаты вошли в фундаментальные монографии по теории функций и функциональному анализу и были в дальнейшем обобщены и развиты во многих направлениях (см.[1-3],[13] , [24-25]). Проблемы сходимости последовательностей сингулярных интегралов сыграли важную роль и в создании нового направления в конструктивной теории функций, связанного с теоремами П.П.Коровкина об условиях сходимости последовательностей линейных положительных операторов (см.[18]).
Следует отметить, что после работ П.И.Романовского и Д.К.Фаддеева теория сингулярных интегралов обогатилась целым рядом оригинальных работ советских математиков. Обобщения этих теорем на интегралы Данжуа и другие теоремы о сходимости таких интегралов были получены В.Г.Челидзе и А.Г.Джваршейшвили (см.[35], стр.224-234). Сходимость интегралов (0.1) к функции И3 р(Д)Ю в точках Лебега была исследована Б.И.Коренблюмом [17]. В работах С.Б.Топурия изучались сингулярные интегралы по [Ь ~ мерной сфере (см.[15] ), где имеется и соответствующая

4°. при любом р>о и при Л —»
К, (а±Ьа)=о (^)
при фиксированном х
Если при 1 -> О и при фиксированном X функция !(*) удовлетворяет условиям
] £(0С-Н;)-Ч(х)1РсЦ =0 (С + ') ;

=о(П,

где ^(х) и у^х) некоторые конечные величины, а о( то же число, что и в 3°, то в той же точке X для интеграла ТЛ(|7х) справедливо соотношение
Т>Д*)-{(*) = о(рЛАр)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу 1°, очевидно, имеем
Тх а Д - = У[ (а) КД-ь *) <к +

К^(-Ь;х)о14; = + .
Оценки обоих интегралов 1У и 1^ проводятся одинаково.
Из условий на функцию выбираем по заданному такое £ , чтобы при [< 54 выполнялось неравенство