О некоторых свойствах базисов в функциональных пространствах

• Автор: Комиссаров, Андрей Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 141 c. : ил

§1. О содержании диссертации

Диссертация посвящена изучению систем Хаара и Франклина. Система Хаара рассматривалась многими авторами и изучена'достаточно полно и всесторонне /см., например, обзорную статью/УУ/. Тем не менее её активное исследование в различных направлениях продолжается. Система Франклина появилась в 1928 году /см. У*// в качестве первого примера ортонормированного базиса в пространстве непрерывных на отрезке функций с равномерной нормой. Однако её систематическое изучение началось значительно позже с работ З.Чисельского /"У/ . Чисельский обнаружил большое сходство системы Франклина с системой Хаара, например, в вопросах о коэффициентах Фурье и о сходимости рядов Фурье. С точки зрения теории приближения функций система Франклина имеет ряд преимуществ перед системой Хаара. Появившиеся при её изучении методы позволили исследовать более общие системы /все они получаются из системы Хаара с помощью некоторых процедур/, которые дали первые примеры базисов в некоторых известных функциональных пространствах /см. /*?/*//. Значительным успехом явилось доказательство С.В.Бочкарёвьш/УУУУтого факта, что система Франклина образует безусловный базис в пространствах при 1 < щ дГ1Я сис_ темы Хаара это . было установлено ещё Ж.Марцинкевичем /У-У. Оказалось /см. /У#//, что системы Хаара и Франклина эквивалентны вУ/> при / <, то есть для функций из этих пространств совпадают множества последовательностей коэффициентов Фурье-Хаара и Фурье-Франклина. В последние годы предметом исследования ряда авторов, изучающих систему Франклина и её обобщения, были вопросы о базисности этих систем в тех или иных функциональных пространствах. В частности, большое значение придавалось вопросу об эквивалентности базисов /см. ГДУ//. Этот вопрос занимает централь-

ное место в первой главе настоящей диссертации. В работе также выясняется, насколько простирается сходство систем Хаара и Франклина в некоторых других аспектах, связанных в той или иной мере с оценками коэффициентов Фурье. В отношении системы Франклина нагл почти неизвестно результатов, позволяющих судить о точности таких оценок. Это обстоятельство привело к формулировке ряда задач, рассмотренных во второй главе диссертации.
Нагл представляется естественной постановка некоторых вопросов, которые традиционно ставились в терминах пространств/^ , в терминах более общих симметричных пространств, теория которых в последние годы интенсивно развивалась /см. УУ/У/. Тем более, что в этих пространствах /за исключением У^ / системы Хаара и Франклина ещё недостаточно изучались./Что касается системы Франклина, то в общих симметричных пространствах она, по-видимому, другими авторами вообще не рассматривалась - во всяком случае, нал такие работы неизвестны.
Перейдём к более подробному изложению содержания диссертации. Она состоит из введения, в котором два параграфа, и двух глав.
Второй параграф введения содержит большинство определений, необходимые для изложения сведения о симметричных пространствах, а также доказательства некоторых простых, но важных для нас фактов, которые нал не удалось отыскать в литературе. Кроме того, здесь приведены обозначения, используемые в тексте диссертации.
В первой главе три параграфа. В первом параграфе доказываются три основные в этой главе леммы. Ключевой является Лемма 1.1, которую мы называем леммой о норме ядра. В ней даётся равномерная по У оценка нормы,/’/Сл /У> специального вида ядра интегрального оператора у

Ал •• (■, ■- f К. гъи/мм

через норму самого оператора, действующего из симметричного про-

странства /с.п./ /у в симметричное пространство /у :
/КГ*' % ‘ 4^7 у/4 £
с7/ У
/Здесь А ^ Ло - натуральное число, а УУ/ - фундаментальная
функция с.п. /у /.
Идея такой оценки содержится в работе 0.М.Лозинского УУ/7,
рассмотревшего действующий в пространствах Орлича интегральный
оператор типа свёртки с тригонометрическим полиномом степени А
в качестве ядра. В связи с леммой о норме ядра вводится понятие
В - системы , которое в несколько ином варианте встречается в
книге 1.-П.Кахана "Случайные функциональные ряды"УУУУ В лемме1
/2.
у ^ ^ = УГ ы*'# м ,
где /У УУУ - функции из /В - системы ^ = В В} , а произвольные измеримые по Лебегу и ограниченные на У У У/ функции.
Доказательство леммы натолкнуло на мысль выяснить связь"В -свойства"с неравенствами разных метрик. Эта связь оказывается довольно тесной. Именно, в предложении 1.1 доказано, что линейно независимая система измеримых и ограниченных функций является В - системой тогда и только тогда, когда для неё справедливо обобщённое неравенство Джексона:
/4/1ао /Г*
/Здесь аРл - полином степени А 2 А о по системе У- /а У - произвольное симметричное пространство.
Для систем Хаара и Франклина В - свойство очевидно. Для тригонометрической системы его легко вывести /см. УДУУ/ из неравенства Бернштейна. Обобщённое неравенство Джексона было впервые отмечено В.А.Родиным УУУ/ именно для тригонометрической системы. Родин получил его другим путём, но тоже с привлечением неравенст-

Вернёмся к нашему доказательству. Из (У- УУУиУУ следует, что
//УУУЛ } ^ //В/В//£^ (УВо)
Пространство сепарабельно, но тогда ///^/является сопряжённым к нему, и значит, любой замкнутый шар в слабо компактен /см.ДУ/^. В силу (/^0) для произвольной функцииЖЖЖУ найдётся подпоследовательность , слабо сходящаяся к некоторой функции В ^ МСВб-). Дяя неё при любом £ =0, У, - • •
(А. А>/» л-//Ж /, 4,4/- 44% 44 ‘ 44
* 4-?ао
Мы заключаем, таким образом, что справедливо вложение
АР(/>($■)) е 4-^4
Итак, соображения двойственности привели нас от (УАё) к (ёёё) ,
Будем рассматривать "усечённые" ядра и соответствующие юл интегральные операторы:
Л, б 4 4 - Л КА/-Гг-гГгр; / у/ 4«у 4 4 /4/ -44 -(44-, /<44%, -44-/4^
Пусть числа /К б Ли ]1 / таковы, ЧТО Л
Мы утверждаем, что выполняется неравенство
Чтобы доказать это, рассмотрю,! функцию
4/ - Ж 4 4 б
С ~/м
где В А Ж/ - функции из леммы 1.3 . Пусть /УУ - характеристическая функция множества

4,ы =. ( - Аг-А 1 п