Полугруппы голоморфных отображений с заданными неподвижными точками

• Автор: Кудрявцева, Ольга Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 95 с.

Оглавление
Введение
1 Однопараметрические полугруппы голоморфных отображений и функция Кёнигса
1.1 Итерации голоморфного отображения и неподвижные точки .
1.2 Задача дробного итерирования и функция Кёнигса
1.3 Неподвижные точки и вид функции Кёнигса
2 Голоморфные отображения круга в себя с вещественными коэффициентами
2.1 Критерий вложимости в классе голоморфных отображений круга
в себя с вещественными коэффициентами
2.2 Некоторые необходимые условия дробного итерирования..
3 Голоморфные отображения круга в себя с инвариантным диаметром и ограниченным искажением
3.1 Критерии вложимости в классе голоморфных отображений круга
в себя с инвариантным диаметром и ограниченным искажением . .
Заключение
Список условных обозначений
Литература

Введение
Настоящая работа посвящена исследованию полугрупп голоморфных отображений круга в себя относительно операции композиции. Более точно, вопросам вложения голоморфного отображения в однопараметрическую полугруппу. Эта задача естественно возникает в динамике дифференцируемых отображений (см., например, (24]) и изучается в различных постановках. Она имеет как теоретическое, так и прикладное значение в тех областях естествознания, где при описании процессов используется динамика голоморфного отображения. В теории аналитических функций задача вложения впервые появилась как задача дробного итерирования. Она состоит в том, чтобы для заданной функции / найти (в случае существования) семейство функций /*, £ ^ 0, удовлетворяющее условиям: /°(г) = 2, /г(г) = г и /1+!!(г) = /£ о /в(,г) для всех з ^ 0, £ ^ 0.
Задача дробного итерирования имеет длительную и богатую историю. Поскольку итерации отображения .можно рассматривать лишь в случае согласованности областей определения и значений, то в изучении задачи дробного итерирования выделяется три случая. Первые исследования относятся к работам Шрёдера (60] и Кёнигса [51] и касаются локального случая, т. е. когда функция / и её итерации дифференцируемы в комплексном смысле в окрестности (для каждой итерации - своя окрестность) общей неподвижной точки го, ]'(го) = го. Шрёдер связал задачу дробного итерирования с решением функционального уравнения, а Кёниге ввёл конструкцию, являющуюся решением этого уравнения, и показал существование дробных итераций /£,£ ^ 0, функции / лишь при незначительных на неё ограничениях, а именно: если |/'(2о)| Ф 0 и
1/'Оо)| Ф 1.
Позже задача дробного итерирования изучалась для целых и мероморф-
пых функций. Полученные здесь результаты оказались противоположными локальному случаю. Так, в работах Бейкера [32], Карлина и МакГрегора [50] показано, что существование дробных итерации возможно лишь для дробнолинейных функций.
Далее получило развитие направление, связанное с изучением аналитических в некоторой области функций, принимающих значения из этой же области (см., например, [34], [40], |7|). Это направление, в отличие от первых двух, более разнообразно с точки зрения получаемых результатов, и, кроме того, его активное развитие стимулируется широким кругом приложений.
Например, в теории случайных ветвящихся процессов интерес к задаче дробного итерирования связан с её приложением при изучении соотношений между процессами с дискретным и непрерывным временем. Очевидным преимуществом процессов с непрерывным временем перед процессами с дискретным временем является возможность привлечения к их исследованию более мощного аналитического аппарата. В связи с этим возникает вопрос: в каких случаях процесс с дискретным временем можно вложить в ветвящийся процесс с непрерывным временем. Данная задача относительно процесса Гальто-на-Батсона, который развивается в дискретном времени и описывает эволюцию популяции однотипных частиц, и однородного марковского ветвящегося процесса была поставлена Харрисом [48] в 1951 году. Поскольку (см., например, [26], [28]) процесс Гяльтона-Ватсона определяется натуральными итера-
оо оо
ЦНЯМИ своей производящей функции f(z) — Рк^у рДс Рк ^ 0) У] Рк —
к=0 к=
2 принадлежит единичному кругу Ю) = {г £ С: г < 1}, то с точки зрения
теории функций задача вложения процесса Гальтона-Ватсона с производящей функцией / в однородный марковский ветвящийся процесс с непрерывным временем эквивалентна вопросу существования дробных итераций функции /, или её вложения в однопараметрическую полугруппу [28], [31|. При этом требуется, чтобы дробные итерации наследовали тс же свойства, что и исходная функция, т. е. также были вероятностными производящими функциями.
Харрис [48] показал невозможность вложения, если производящая функция процесса Гальтона-Ватсона является целой и сохраняет начало коордп-

которое отображает единичный круг 0 на себя и удовлетворяет условиям !/( /ОД = то/ОД-ОД,
1^0. Легко видеть, что /, /< является однопараметрической полугруппой в
ф[—1;1]. По доказанному инфинитезимальная образующая однопараметрической полугруппы Ь н-» /г имеет вид
НО = |/‘(С) = -«(1 + С)2 (1 - С) У ФМ,
<-° т где а > 0, а ц, - вероятностная мера на Т. Но тогда инфинитезимальная образующая V однопараметрической полугруппы I У будет определяться равенством
(1 + ОД))2(1-ОД) [ 1-х , , ,
"(2) = иЩ У Т^щщ Мя) ■

Замечая, что
(1 + Ь(г))2 (1 - Ь{г)) _ 4 « (д - г)(1 — дг)(1 - а г)
Ь'(х) (д — 2а) + ас}
1 — х (д — 2а) + ад,г 1 — г]
1 — нЬ{г) а|д — а|2 1 — раг ’
гДе _ .
ад + (2 — ад)х

адх + (2 — ад)
пробегает единичную окружность Т вместе с х, приходим к равенству
и(г) = Г 1(> И (? ~ 2:)(1 “ ^Х1 _ Її2) / Т~ з- <М»7) у
| д — ар ] 1-туаг
где - вероятностная мера на Т.
Таким образом, при любых д Є Ю> и а Є Т вид инфипитезималыгой образующей V однопараметрической полугруппы < щ в ф[д; а] определяется формулами (1.10), (1.4).
Докажем теперь достаточность. Допустим, что функция V имеет вид, определяемый формулами (1.10), (1-4), т. е.
у(г) = а(д — г)(1 — дг)(1 — аг)Ь(аг),